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$ \begin{aligned} 解：原式&=(\frac{25}{8})^{12}×(\frac{8}{25}) ^{11}×(-2)^3 \\ &=(\frac{25}{8}×\frac{8}{25})^{11} ×\frac{25}{8}×(-2)^3 \\ &=\frac{25}{8}×(-8) \\ &=-25 \\ \end{aligned}$

$ \begin{aligned}解：原式&= [\frac{1}{2}×(-2) ]^{30n} \\ &=(-1)^{30n} \\ &=1 \\ \end{aligned}$

$ \begin{aligned}解：原式&=0.125³×0.25³×4³×16³ \\ &=(0.125×0.25×4×16)³ \\ &=2³ \\ &=8. \\ \end{aligned}$

$ \begin{aligned} 解：原式&=-(\frac{1}{4})^{14}×4^{15} \\ &=-(\frac{1}{4}×4)^{14}×4 \\ &=-4 \\ \end{aligned}$

$解：因为2^6=a^2=4^b$

$所以2^6=(2^3)^2=a^2=(2^2)^b=2^{2b}$

$ 所以a=±8，2b=6，解得a=±8，b=3$

$ 所以a+b=11或a+b=-5.$

$解：由题意，得a^{6+4y}b^{3+2y}=(a^2b)^x$

$整理得(a^2b)^{3+2y}=(a^2b)^x$

$所以3+2y=x，即x-2y=3$

$所以4x-8y+9=4(x-2y)+9=4×3+9=21$

$解：由题意，得3^{z+2}·5^{z+2}=15^{z+2}=15^{3z-4}$

$ 所以z+2=3z-4，解得z=3$

$ \begin{aligned} 所以4^x·32^y·2^{-z}&=2^{2x}·2^{5y}·2^{-3} \\ &=2^{2x+5y-3} \\ &=2^0 \\ &=1. \\ \end{aligned}$

$解：3¹⁰⁰-1=(3²)⁵⁰-1=(9²)²⁵-1=81²⁵-1$

$ 而81²⁵的个位数字是1$

$所以3¹⁰⁰-1的末位数字是0$

$解：3²⁰¹⁰×7²⁰¹¹×13²⁰¹²$

$=(3⁴)⁵⁰²×3²×(7×13)²⁰¹¹×13$

$=81⁵⁰²×91²⁰¹¹×(9×13)$

$=81⁵⁰²×91²⁰¹¹×117.$

$ 因为81⁵⁰²×91²⁰¹¹的个位数字为1$

$所以3²⁰¹⁰×7²⁰¹¹×13²⁰¹²的个位数字是7.$

$解：因为3^x=2010,所以3^{xy}=2010^y$

$又670^y=2010,所以670^{xy}=2010^x$

$所以3^{xy}·670^{xy}=2010^y·2010^x$

$即2010^{xy}=2010^{x+y}$

$所以xy=x+y，所以 \frac{2xy}{x+y} =2$

$解：因为3⁶⁵=(3⁵)¹³=243¹³$

$4⁵²=(4⁴)¹³=256¹³$

$6³⁹=(6³)¹³=216¹³$

$15²⁶=(15²)¹³=225¹³$

$又256＞243＞225＞216$

$所以4⁵²＞36⁶⁵＞15²⁶＞6³⁹$

$解：(3a⁶⁰⁶⁹)²-4(a²)⁸⁰⁹²\ $

$=9a^{3×2023×2}-4a^{2×2023×4}$

$=9(a²⁰²³)⁶- 4(a²⁰²³)⁸$

$=9×3⁶-4×3⁸$

$=-19683$