第85页 - 经纶学典学霸七年级数学上下册【江苏国标】

(2a+b)(a+b)=2a²+b²+3ab

(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+ 2ac+2bc

155

9

a+2b

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$解：如图，构造了一个边长为k的正方形$

$AC=CE=EG=AG=k$

$在正方形的4个边上分别截取$

$AB=a，CD=b，EF=c和HG=c$

$因为a+m=b+n=c+l=k$

$所以BC=m，DE=n，FG=l，AH=l$

$如图构造长方形$

$因为3个长方形的面积和为al+bm+cn$

$大正方形的面积为k²$

$所以al+bm+cn＜k²$

$解：[图形再现]延长BA到D$

$过点A作BC的平行线AE$

$所以∠DAE=∠B，∠CAE=∠C$

$因为∠BAC+∠CAE+∠DAE=180°$

$所以∠BAC+∠C+∠B=180°$

$即三角形的内角和为180°$

$[图形探究]①如图，因为AE//BC$

$所以∠MAC=∠ACB，∠1+∠BCM=180°$

$因为CP是∠ACB的平分线$

$所以∠2= ∠PCB=\frac{1}{2}∠ACB$

$所以∠MAC=2∠2$

$又∠1+∠BCM$

$=2∠2+∠ACM+∠1$

$= 180°$

$∠ACM=∠1(已知)$

$所以2∠2+2∠ACM=180°$

$所以∠2+∠ACM=90°$

$ \begin{aligned} 所以∠PCD&=180°-(∠2+∠ACM) \\ &=180°-90° \\ &=90°. \\ \end{aligned}$

$②因为AP是∠BAC的平分线$

$所以∠3=∠BAD=\frac{1}{2}∠BAC$

$在△ABC中，∠ABC+2∠2+2∠3=180°$

$ \begin{aligned} 因为∠APC&=180°-∠4 \\ &=180°-(∠3+∠2) \\ \end{aligned}$

$所以∠4=∠2+∠3$

$因为∠PCD=90°$

$所以∠4=90°-∠D$

$即∠2+∠3=90°-∠D$

$所以∠ABC+2∠2+2∠3$

$=∠ABC+2( 90°-∠D)$

$= 180°$

$所以∠ABC+180°-2∠D= 180°$

$所以∠ABC=2∠D.$

$[图形思考]t的值为15秒或\frac{435}{17}秒$