$解：(1)由题意得，该矩阵对应的方程组为\begin{cases}{4x+y=5}\\{3x-2y=3}\end{cases}$
$解得\begin{cases}{x=\frac{13}{11}}\\{y=\frac{3}{11}}\end{cases}，所以该矩阵对应的方程组的解为\begin{cases}{x=\frac{13}{11}}\\{y=\frac{3}{11}}\end{cases}$
$(2)由题意，将\begin{cases}{x=1}\\{y=1}\\{z=1}\end{cases}，代入\begin{cases}{ax-2y+3z=7}\\{x+by+4z=5}\\{2x-y+cz=8}\end{cases}$
$得\begin{cases}{a-2+3=7，①}\\{1+b+4=5，②}\\{2-1+c=8，③}\end{cases}$
$所以①+②+③得a+b+c=13.$
