$解：(1)解方程组,得\begin{cases}{x=-m+7}\\{y=2m-5}\end{cases}$
$因为x、y都是正数，所以\begin{cases}{-m+7＞0}\\{2m-5＞0}\end{cases}$
$得\begin{cases}{m\lt 7}\\{m\gt \frac{5}{2}}\end{cases}$
$所以\frac{5}{2}＜m＜7$
$所以当\frac{5}{2}＜m＜7时$
$原方程组的解x、y都得是正数$
$(2)因为(4-m)x＜2(m-4)的解集为x＞-2$
$所以4-m＜0，解得m＞4$
$结合(1)，得4＜m＜7$
$所以整数m=5或6$
