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$证明：因为 CE⊥AB,BF⊥AC，所以∠AEC= ∠BEC=∠AFB=∠BFC=90°.$

$所以∠A+∠ABF=90°,∠A+∠ACE=90°，即∠ABF=∠ACE.$

$因为∠A=60°，所以∠ABF=∠ACE=90°-∠A=30°.\ $

$又因为∠FBC+∠FCB=90°,∠FCB=∠ACE+∠ECB，$

$所以∠FBC+∠ECB=90°-∠ACE=60°.$

$因为D是BC的中点，所以 DE=CD=\frac{1}{2}\ \mathrm {BC},DF=BD= \frac{1}{2}BC.\ $

$所以 ∠DEC = ∠DCE, ∠DBF =∠DFB,DE=DF.\ $

$因为∠BDE=∠DEC+∠DCE = 2 ∠DCE, ∠CDF = ∠DBF +∠DFB=2∠DBF,$

$所以∠CDF+∠BDE=2∠DBF+2∠DCE=2×60°=120°.$

$所以∠EDF=180°-∠BDE-∠CDF=60°.$

$所以△DEF为等边三角形.$

$解：(1)连接PC.$

$因为点P在边BC的垂直平分线上，$

$所以PB=PC，即∠PBC=∠PCB,$

$因为点P在边AC的垂直平分线上，$

$所以PA=PC，即∠PAC=∠PCA.$

$所以∠PBC+∠PAC=∠PCB+∠PCA=∠ACB.$

$又因为∠ACB=110°，$

$所以∠APB = 360°-(∠PBC+∠PAC+∠ACB)=360°-(110°+110°)=140°.$

$（更多请点击查看作业精灵详解）$

$证明：(1)因为AC=BC，所以∠A=∠ABC.$

$由旋转的性质，得∠A_{1}=∠A,AC=AC,∠ACA_{1}=∠B_{1}CB=α.$

$所以∠A_{1}=∠ABC,A,C=BC.$

$在△CBD 和△CA_{1}F 中,$

$\begin{cases}{∠CBD=∠A_{1},}\\{BC=A_{1}C,}\\{∠BCD=∠A,CF,}\end{cases}$

$所以△CBD≌△CA_{1}F(\mathrm {ASA}).$

$（更多请点击查看作业精灵详解）$