$证明：因为 CE⊥AB,BF⊥AC，所以∠AEC= ∠BEC=∠AFB=∠BFC=90°.$ $所以∠A+∠ABF=90°,∠A+∠ACE=90°，即∠ABF=∠ACE.$ $因为∠A=60°，所以∠ABF=∠ACE=90°-∠A=30°.\ $ $又因为∠FBC+∠FCB=90°,∠FCB=∠ACE+∠ECB，$ $所以∠FBC+∠ECB=90°-∠ACE=60°.$ $因为D是BC的中点，所以 DE=CD=\frac{1}{2}\ \mathrm {BC},DF=BD= \frac{1}{2}BC.\ $ $所以 ∠DEC = ∠DCE, ∠DBF =∠DFB,DE=DF.\ $ $因为∠BDE=∠DEC+∠DCE = 2 ∠DCE, ∠CDF = ∠DBF +∠DFB=2∠DBF,$ $所以∠CDF+∠BDE=2∠DBF+2∠DCE=2×60°=120°.$ $所以∠EDF=180°-∠BDE-∠CDF=60°.$ $所以△DEF为等边三角形.$ $解：(1)连接PC.$ $因为点P在边BC的垂直平分线上，$ $所以PB=PC，即∠PBC=∠PCB,$ $因为点P在边AC的垂直平分线上，$ $所以PA=PC，即∠PAC=∠PCA.$ $所以∠PBC+∠PAC=∠PCB+∠PCA=∠ACB.$ $又因为∠ACB=110°，$ $所以∠APB = 360°-(∠PBC+∠PAC+∠ACB)=360°-(110°+110°)=140°.$ $（更多请点击查看作业精灵详解）$ $证明：(1)因为AC=BC，所以∠A=∠ABC.$ $由旋转的性质，得∠A_{1}=∠A,AC=AC,∠ACA_{1}=∠B_{1}CB=α.$ $所以∠A_{1}=∠ABC,A,C=BC.$ $在△CBD 和△CA_{1}F 中,$ $\begin{cases}{∠CBD=∠A_{1},}\\{BC=A_{1}C,}\\{∠BCD=∠A,CF,}\end{cases}$ $所以△CBD≌△CA_{1}F(\mathrm {ASA}).$ $（更多请点击查看作业精灵详解）$
$解：(2)线段AB、AH 和AC之间的数量关系是AB=AC+2AH.$ $理由如下:$ $如图，过点P 作PD⊥AM 于点 D,连接 PC.\ $ $因为点 P 在∠BAM的平分线上，PH⊥AB，$ $所以 PH=PD.$ $又因为AP=AP，$ $所以Rt△PAH≌Rt△PAD(\mathrm {HL}).$ $所以AH=AD.$ $因为点P在边BC的垂直平分线上，$ $所以PB=PC.$ $所以Rt△PBH≌Rt△PCD(\mathrm {HL}).$ $所以 BH=CD.$ $所以AB-AH=AC+AD,$ $即AB=AC+2AH.$
$解：(2)由题意得△ABC是等腰直角三角形.$ $所以∠CAB=∠CBA=45°.\ $ $由旋转的性质得，BC=B_{1}C,∠BCB_{1}=α,$ $则∠CB_{1}B=∠CBB_{1}.$ $又因为∠BCB_{1}+∠CB_{1}B+∠CBB_{1}=180°,$ $所以∠CB_{1}B=∠CBB_{1}$ $=\frac{1}{2}(180°-∠BCB_{1})=90°-\frac{α}{2}.$ $所以∠B_{1}BD=∠CBB_{1}-∠CBA$ $=45°-\frac{α}{2}.$
$解：(3)由(2)得∠CB_{1}B=90°-\frac{α}{2},∠B_{1}BD= 45°-\frac{α}{2},∠BCB_{1}=α,∠CBA =45°,\ $ $所以∠CB_{1}B＞∠B_{1}BD,$ $即BD≠B_{1}D.$ $又因为∠BDB_{1}=∠BCB_{1}+∠CBA,$ $所以∠BDB_{1}=45°+α,$ $又因为0°＜α＜90°,$ $所以∠BDB_{1}＞∠B_{1}BD,$ $即BB_{1}≠B_{1}D.$ $又因为△BB_{1}D 是等腰三角形，$ $所以 BD=BB_{1}.$ $所以∠BDB_{1}=∠BB_{1}D,$ $即 45°+α=90°-\frac{α}{2}，$ $解得α=30°.$ $则当α=30°时，△BB_{1}D是等腰三角形.$
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