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$证明：因为EF//BC，所以∠FEC=∠DCB.$

$又因为CD平分∠ACB，所以∠ACD=∠DCB，即∠FEC=∠ACD.$

$所以EF=CF.$

$又因为AE⊥CD，所以F为AC的中点，即FA=CF.$

$延长FG 至点H，使HG=FG，连接BH，AH,$

$因为G为BC的中点，所以BG=CG.$

$又因为∠BGH=∠CGF，所以△BGH≌△CGF(\mathrm {SAS}).\ $

$所以 BH=CF,∠HBG=∠FCG.$

$所以 BH=FA,BH//AC.$

$所以∠BHA=∠FAH.$

$又因为AH=HA,所以△ABH≌△HFA (\mathrm {SAS}).\ $

$所以 HF=AB,∠AHF=∠HAB.$

$所以FG=\frac{1}{2}AB且FG//AB.$

$证明：(1)因为△ABC是等边三角形，$

$所以AB=AC.\ $

$因为点 P 与点A 重合，$

$所以PB=AB,PC=AC,PA=0.$

$所以PA+PB=PC或PA+PC=PB.$

$(2)PA+PC=PB.证明如下:$

$如图①，在BP 上截取 BF=CP,连接 AF,\ $

$因为△ABC 和△ADE都是等边三角形，$

$所以AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°.$

$所以∠BAC+∠CAD = ∠DAE + ∠CAD, 即∠BAD =∠CAE.$

$所以△BAD≌△CAE(\mathrm {SAS}).\ $

$所以∠ABD=∠ACE.$

$所以△CAP≌△BAF(\mathrm {SAS}),$

$所以∠CAP=∠BAF,AP=AF.$

$所以∠CAP+∠CAF = ∠BAF + ∠CAF，即 ∠FAP =∠BAC=60°.$

$所以△AFP是等边三角形.$

$所以PF=PA.所以PA+PC=PF+BF=PB.$

$(3)PA+PB=PC.$

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