$证明：(1)如图①，连接DM,ME.$
$因为CD,BE都是△ABC 的高，$
$所以∠BDC=∠BEC=90°.$
$因为M是BC的中点，$
$所以 DM=BM=\frac{1}{2}BC,ME=CM=\frac{1}{2}BC.$
$所以BM=DM=ME=CM.$
$所以△MDE是等腰三角形.$
$又因为N是DE的中点，所以MN⊥DE.$
$(2)∠DME=180°-2∠BAC.证明如下:$
$在 △ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,$
$所以∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC.$
$由(1)得 BM=DM=ME=CM，$
$所以∠ABC=∠MDB, ∠ACB = ∠MEC.$
$又因为∠BMD +∠ABC+∠MDB=180°,∠CME+∠ACB+∠MEC= 180°，$
$所以∠BMD +∠CME =(180°-2∠ABC)+(180°-2∠ACB)$
$=360°-2(∠ABC+∠ACB)=360°-2(180°-∠BAC)=2∠BAC.$
$又因为∠BMD+∠DME+∠CME=180°，$
$所以∠DME=180°-(∠BMD+∠CME)=180°-2∠BAC.$
$(3)(1)中的结论成立，证明同(1),(2)中的结论不成立.理由如下:$
$如图②，连接DM,ME.$
$在△ABC中,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,$
$所以∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC.$
$由(1)得BM= DM = ME = CM,\ $
$所以∠ACB =∠MEC,∠ABC=∠MDB，$
$因为∠BME=∠ACB+∠MEC,∠CMD=∠ABC+∠MDB,$
$所以∠BME=2∠ACB，∠CMD=2∠ABC.$
$所以∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC=2(180°-∠BAC)=360°-2∠BAC.$
$又因为∠BME+∠DME+ ∠CMD = 180°,$
$所以∠DME =180°-(∠BME+∠CMD)=180°-(360°-2∠BAC)=2∠BAC-180°.$
