$解：(1)因为AB=3,BC=4,$
$所以在Rt△ABC中， 由勾股定理得 AC²=AB²+BC²=5²，即AC=5.$
$又因为P,Q 两点的运动速度均为每秒1个单位长度，$
$所以点 P 到达点C时,t=5÷1=5;$
$点Q到达点A时,t=3÷1=3.$
$又因为点P到达点C时，两点同时停止运动，$
$所以t的取值范围是0＜t≤5.$
$当0＜t≤3时,BQ=t,$
$所以S=S_{△CBQ}=\frac{1}{2}BC·BQ=\frac{1}{2}×4·t=2t;$
$当3＜t≤5时，AQ=t-3，$
$所以BQ=AB-AQ=3-(t-3)=6-t.$
$所以S=S_{△CBQ}=\frac{1}{2}BC·BQ=\frac{1}{2}× 4·(6-t)=12-2t.$
$综上，S=\begin{cases}{2t(0＜t≤3),}\\{12-2t(3＜t≤5).}\end{cases}$
$(2)因为PQ的垂直平分线过点C，$
$所以CP= CQ.$
$由(1)得AC=5,t 的取值范围为0＜t≤5,且 AB=3,BC=4.\ $
$当 0＜1≤3时,BQ=AP=t,$
$所以 CP=AC-AP=5-t.\ $
$所以CQ=5-t.\ $
$在Rt△BCQ 中,由勾股定理得BQ²+BC²=CQ²,$
$所以t²+4²=(5-t)²,解得t=0.9.$
$则 BQ=0.9.$
$所以AQ=AB-BQ=2.1;$
$当 3＜t≤5 时,AP=t,BQ=6-t,$
$则CQ=CP=AC-AP=5-t.$
$在Rt△BCQ中，由勾股定理得BQ²+BC²=CQ²，$
$所以(6-t)²+4²=(5-t)²，解得t=13.5，不符合题意，舍去.$
$综上，AQ的长为2.1.$
