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$解：(1)猜想:PA=QC.证明如下:$

$因为△ABC是等边三角形，$

$所以AB=CB，∠ABC=60°.$

$又因为∠PBQ=60°,所以∠ABC=∠PBQ.\ $

$所以∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC, 即∠ABP=∠CBQ.$

$因为PB=QB，所以△ABP≌△CBQ(\mathrm {SAS}).$

$所以PA=QC.$

$(2)△PQC是直角三角形.理由如下:$

$因为PA: PB :PC=3:4:5，所以可设PA=3a,PB=4a,PC=5a (a＞0).$

$因为 QB =PB，且∠PBQ=60°，所以△PBQ是等边三角形.$

$所以PQ=PB=4a,$

$由(1)得QC=PA,则QC=3a.$

$在△PQC 中,PQ²+QC²=16a²+9a²=25a²=PC²,$

$所以△PQC是直角三角形.$

$证明：(1)因为D为AB的中点,DF⊥DE，$

$所以DF 垂直平分AB.$

$所以AF=EF.$

$设AF=EF=x，因为AC=8，所以CF=8-x.$

$在Rt△ECF中，EC=BC=6,$

$由勾股定理得 CF²+EC²=EF²，即(8-x)²+6²=x²，$

$解得x=\frac{25}{4}.$

$则EF的长为\frac{25}{4}.$

$(2)如图②，过点A作AG⊥AC，交ED的延长线于点 G, 连接 FG，则∠GAC = 90°.\ $

$又因为∠ACB=90°,所以∠GAC+∠ACB=180°.$

$所以AG//BC.所以∠AGD=∠BED.$

$又因为D为AB 的中点，所以 AD=BD.$

$又因为∠ADG=∠BDE，所以△AGD≌△BED(\mathrm {AAS}).$

$所以AG=BE,DG=DE.$

$又因为DF⊥DE，所以DF是GE的垂直平分线.所以GF=EF.$

$在Rt△AGF中，由勾股定理得AF²+AG²=GF²,$

$所以AF²+BE²=EF².（更多请点击查看作业精灵详解）$

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