$解：(1)猜想:PA=QC.证明如下:$ $因为△ABC是等边三角形，$ $所以AB=CB，∠ABC=60°.$ $又因为∠PBQ=60°,所以∠ABC=∠PBQ.\ $ $所以∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC, 即∠ABP=∠CBQ.$ $因为PB=QB，所以△ABP≌△CBQ(\mathrm {SAS}).$ $所以PA=QC.$ $(2)△PQC是直角三角形.理由如下:$ $因为PA: PB :PC=3:4:5，所以可设PA=3a,PB=4a,PC=5a (a＞0).$ $因为 QB =PB，且∠PBQ=60°，所以△PBQ是等边三角形.$ $所以PQ=PB=4a,$ $由(1)得QC=PA,则QC=3a.$ $在△PQC 中,PQ²+QC²=16a²+9a²=25a²=PC²,$ $所以△PQC是直角三角形.$ $证明：(1)因为D为AB的中点,DF⊥DE，$ $所以DF 垂直平分AB.$ $所以AF=EF.$ $设AF=EF=x，因为AC=8，所以CF=8-x.$ $在Rt△ECF中，EC=BC=6,$ $由勾股定理得 CF²+EC²=EF²，即(8-x)²+6²=x²，$ $解得x=\frac{25}{4}.$ $则EF的长为\frac{25}{4}.$ $(2)如图②，过点A作AG⊥AC，交ED的延长线于点 G, 连接 FG，则∠GAC = 90°.\ $ $又因为∠ACB=90°,所以∠GAC+∠ACB=180°.$ $所以AG//BC.所以∠AGD=∠BED.$ $又 因为D为AB 的中点，所以 AD=BD.$ $又因为∠ADG=∠BDE，所以△AGD≌△BED(\mathrm {AAS}).$ $所以AG=BE,DG=DE.$ $又因为DF⊥DE，所以DF是GE的垂直平分线.所以GF=EF.$ $在Rt△AGF中，由勾股定理得AF²+AG²=GF²,$ $所以AF²+BE²=EF².（更多请点击查看作业精灵详解）$
$解：(3)因为点E在直线BC上，CE=1,$ $所以分类讨论如下:$ $①如图③，当点E在线段BC上时，$ $过点B作BH//AC，交FD 的延长线于点H，连接 EH.\ $ $同(2)得△ADF≌△BDH，$ $所以AF=BH,DF=DH.$ $又因为DF⊥DE,$ $所以 DE是HF 的垂直平分线.\ $ $所以 EF=EH.$ $所以CF²+CE²=BH²+BE².\ $ $设 CF=m，$ $因为AC=8,BC=6,$ $所以AF=BH=8-m,BE=BC-CE=5.$ $所以 m²+1²=(8-m)²+5²，$ $解得m=\frac{11}{2}.$ $所以CF的长为\frac{11}{2};$ $②如图④，当点E在BC的延长线上时，$ $过点B作BG//AC，交FD的延长线于点G，连接EG.$ $同理得AF=BG,CF²+CE²=BG²+BE².$ $设 CF=n,$ $则AF=BG=8-n,BE=BC+CE=7.$ $所以n²+1²=(8-n)²+7²,$ $解得n=7.$ $所以CF的长为 7.$ $综上，线段CF的长为\frac{11}{2}或7.$
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