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等边三角形

$解：(2)∠DBF 的度数不变，理由如下:$

$因为 ∠ACB=90°,D 是AB 的中点，$

$所以 CD=AD=\frac{1}{2}AB，即∠DCE=∠A.$

$又因为∠A=30°,所以∠DCE=30°.$

$因为△DEF为等边三角形，$

$所以DF = DE, ∠FDE = 60°，即∠CDE +∠FDC=60°.$

$由(1)得△BCD是等边三角形，$

$所以 BD=CD,∠BDC =60°，即∠BDF+∠FDC=60°.\ $

$所以∠BDF=∠CDE,\ $

$所以△BDF≌△CDE (\mathrm {SAS}).\ $

$所以∠DBF =∠DCE=30°，即∠DBF的度数不变.$

$证明：(1)连接BP,CP.$

$因为PQ垂直平分BC，所以 BP=CP.\ $

$因为AP 平分∠DAC,PD⊥AB，PE⊥AC，$

$所以∠BDP=∠CEP=∠AEP=90°,DP=EP.\ $

$所以 Rt△BDP≌Rt△CEP(\mathrm {HL}).$

$所以BD=CE.$

$(2)由(1)得∠ADP=∠AEP=90°,DP=EP, BD=CE.$

$因为 AP=AP，所以 Rt△ADP≌Rt△AEP(\mathrm {HL})，所以 AD=AE.\ $

$设AD=AE=x\ \mathrm {cm}.$

$因为AB=6\ \mathrm {cm}， AC=10\ \mathrm {cm}，$

$所以BD=AD+AB=(x+6)\ \mathrm {cm},CE=AC-AE=(10-x)\ \mathrm {cm}，$

$即x+6=10-x，解得x=2.$

$所以AD的长为2\ \mathrm {cm}.$