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$解：(1)如图，过点C作CH⊥AB于点H.$

$由翻折的性质，得∠APC=∠QPC.$

$因为PQ⊥AB，所以∠APQ =∠QPB = 90°.$

$又因为∠APQ +∠APC+∠QPC=360°，$

$所以∠APC=∠QPC=\frac{1}{2}(360°-∠APQ)=135°.$

$所以∠BPC+∠QPB=135°，所以∠BPC=135°-∠QPB=45°.$

$又因为CH⊥AB，所以△CHP为等腰直角三角形，且CH=PH，$

$因为∠ACB=90°,AC=4,BC=3,$

$所以由勾股定理得AB²=AC²+BC²=5²，即AB=5.$

$因为 S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AC=\frac{1}{2}AB·CH，所以 CH=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{12}{5},$

$所以 PH=CH=\frac{12}{5}.$

$在 Rt△BCH 中,由勾股定理得BH²=BC²-CH²=(\frac{9}{5})²，所以 BH=\frac{9}{5}.$

$所以BP=BH+PH=\frac{21}{5}.$

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$解：(1)如图，连接BG.$

$因为∠EAD=90°,∠BAC= 30°,所以∠DAG=∠EAD+∠BAC=120°.$

$因为∠ADE=30°,∠ADE+∠DAG+∠AGD=180°,$

$所以∠AGD=180°-∠ADE-∠DAG=30°,即∠AGD=∠ADE=30°,$

$所以AG=AD.$

$因为AB=AD，所以 AG=AB，即∠ABG=∠AGB.$

$因为∠BAC+∠ABG+∠AGB=180°，$

$所以∠AGB=∠ABG=\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=75°,$

$因为 BH⊥DF，所以∠FHB=∠BHE=90°，即∠BHE=∠EAD.$

$又因为∠BEH=∠AED,∠BHE+∠BEH+∠EBH=180°,∠EAD+∠AED+ ∠ADE = 180°,\ $

$所以∠EBH=∠ADE = 30°.$

$所以∠HBG=∠ABG-EBH=45°.$

$所以∠HGB=90°-∠HBG=45°，即∠HGB=∠HBG.$

$所以GH=BH.$

$又因为AH=AH，所以△AGH≌△ABH(\mathrm {SSS}).$

$所以∠HAG=∠HAB.$

$又因为∠HAG+∠HAB =∠BAC,$

$所以∠HAE=15°.$

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