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$证明：(1)因为 BC=FC,∠BCD=∠FCE,CD= CE,$

$所以 △BCD ≌△FCE (\mathrm {SAS}).所以∠CBD=∠CFE.$

$所以BD//EF.$

$又因为AF⊥EF，所以BD⊥AF.$

$(2)如图:CD=CH.证明如下:$

$延长BC 到点 G，使CG=BC，连接AG,EG.$

$同(1)得△BCD≌△GCE,所以 BD=GE，∠CBD=∠CGE，即BD//EG.$

$所以∠DHE=∠AEG.$

$又因为∠ACB=90°,所以 AC⊥BG.$

$所以∠ACG=∠ACB=90°.$

$又因为AC = AC, 所以△ACB ≌△ACG(\mathrm {SAS})，$

$所以AB=AG，$

$又因为AB²=AE²+BD²,所以AG²=AE²+GE²，即∠AEG=90°,$

$所以∠DHE=90°.$

$又因为CD=CE，所以C为DE的中点.$

$所以CD=CH.$

$解：(1)PN=2BM.证明如下:$

$如图①，过点P 作 PF//AC,分别交 BC,BD 于 F,E 两点，$

$则 ∠PFB=∠C,∠BPE=∠A=45°.$

$因为BD⊥AC,所以 PF⊥BD.$

$所以∠BEP=∠BEF=90°.$

$所以∠PBE=90°-∠BPE=45°，即∠PBE=∠BPE.$

$所以BE=PE,$

$因为 PM⊥BC，所以∠PMB=90°.$

$所以∠BNM+∠EBF=∠PNE+∠EPN = 90°，且 ∠BNM_{1} = ∠PNE.\ $

$所以∠EBF=∠EPN.$

$又因为∠PEN=∠BEF=90°,所以△PEN≌△BEF(\mathrm {ASA}).$

$所以PN=BF.$

$因为AB=AC，所以∠ABC=∠C.$

$所以∠ABC=∠PFB.$

$所以 PB=PF.$

$因为 PM⊥BF，所以BF=2BM.$

$所以PN=2BM.$

$（更多请点击查看作业精灵详解）$

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