$证明：(1)因为 BC=FC,∠BCD=∠FCE,CD= CE,$ $所以 △BCD ≌△FCE (\mathrm {SAS}).所以∠CBD=∠CFE.$ $所以BD//EF.$ $又因为AF⊥EF，所以BD⊥AF.$ $(2)如图:CD=CH.证明如下:$ $延长BC 到点 G，使CG=BC，连接AG,EG.$ $同(1)得△BCD≌△GCE,所以 BD=GE，∠CBD=∠CGE，即BD//EG.$ $所以∠DHE=∠AEG.$ $又因为∠ACB=90°,所以 AC⊥BG.$ $所以∠ACG=∠ACB=90°.$ $又因为AC = AC, 所以△ACB ≌△ACG(\mathrm {SAS})，$ $所以AB=AG，$ $又因为AB²=AE²+BD²,所以AG²=AE²+GE²，即∠AEG=90°,$ $所以∠DHE=90°.$ $又因为CD=CE，所以C为DE的中点.$ $所以CD=CH.$ $解：(1)PN=2BM.证明如下:$ $如图①，过点P 作 PF//AC,分别交 BC,BD 于 F,E 两点，$ $则 ∠PFB=∠C,∠BPE=∠A=45°.$ $因为BD⊥AC,所以 PF⊥BD.$ $所以∠BEP=∠BEF=90°.$ $所以∠PBE=90°-∠BPE=45°，即∠PBE=∠BPE.$ $所以BE=PE,$ $因为 PM⊥BC，所以∠PMB=90°.$ $所以∠BNM+∠EBF=∠PNE+∠EPN = 90°， 且 ∠BNM_{1} = ∠PNE.\ $ $所 以∠EBF=∠EPN.$ $又因为∠PEN=∠BEF=90°,所以△PEN≌△BEF(\mathrm {ASA}).$ $所以PN=BF.$ $因为AB=AC，所以∠ABC=∠C.$ $所以∠ABC=∠PFB.$ $所以 PB=PF.$ $因为 PM⊥BF，所以BF=2BM.$ $所以PN=2BM.$ $（更多请点击查看作业精灵详解）$
$解：(2)成立.证明如下:$ $如图②，过点 P 作PF//AC，交CB 的延长线于点E,$ $交DB 的延长线于点F，$ $则∠E=∠C,∠BPF=∠A=45°.$ $因为PM⊥BC，$ $所以∠BMN=90°.$ $因为 BD⊥AC,$ $所以∠ADB=90°.$ $所以∠ABD=90°-∠A=45°.$ $所以∠PBF=∠ABD=45°,$ $所以∠PBF=∠BPF.\ $ $所以 BF=PF.$ $又因为BD⊥AC,$ $所以 BD⊥PF，$ $即∠BFE=∠BFP=90°.\ $ $所以 ∠EBF + ∠BNM = ∠NPF +∠PNF= 90°,$ $且∠BNM = ∠PNF.\ $ $所以∠EBF=∠NPF.$ $又∠BFE=∠PFN,$ $所以△BFE≌△PFN(\mathrm {ASA}).$ $所以BE=PN.$ $因为AB=AC，$ $所以∠ABC=∠C.\ $ $所以∠E=∠ABC.\ $ $又因为∠ABC = ∠PBE,\ $ $所以∠E =∠PBE.$ $所以PE=PB,$ $因为 PM⊥EB，$ $所以BE=2BM.$ $所以PN=2BM.$
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