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$解：由题意得a-2≥0,2-a≥0，所以a≥2，a≤ 2，即a=2.$

$所以b²=1.$

$又因为|b|+b＞0，所以b＞0，即 b= 1.\ $

$所以\frac{2025}{ab}+\frac{2025}{(a+1)(b+1)}+\frac{2025}{(a+2)(b+2)}+···+\frac{2025}{(a+2023)(b+2023)}$

$=\frac{2025}{1×2}+\frac{2025}{2×3}+\frac{2025}{3×4}+···+\frac{2025}{2024×2025}$

$= 2025×(\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+···+\frac{1}{2024×2025})$

$=2025×(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+···+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025})$

$=2025×(1-\frac{1}{2025})$

$=2024.$

$解：(1)设长方形硬纸片的长为x\ \mathrm {cm}，宽为y\ \mathrm {cm}.\ $

$由题意得x=2y，且x²=900，$

$解得x=30(负值已舍去).$

$所以y=15.$

$所以长方形硬纸片的宽为15\ \mathrm {cm}.$

$(2)够用.$

$由题意得该正方体无盖笔筒的棱长为\sqrt {512}=8(\ \mathrm {cm}).$

$又因为3×8=24(\ \mathrm {cm})，24＜30，8＜15,$

$所以该正方形硬纸片够用.$

$又因为制作该正方体无盖笔筒共需要5张边长为8\ \mathrm {cm}的硬纸片，$

$所以需要硬纸片的总面积为 5×8²=320(\ \mathrm {cm}²).$

$所以剩余的硬纸片面积为 900-320=580(\ \mathrm {cm}²).$