$解：(1)因为y-1与x+2成正比例，所以设y-1=k(x+2),\ $ $因为当 x=-1 时，y=3，所以3-1=k·(-1+2)，解得k=2.$ $所以y与x之间的函数表达式为y-1=2(x+2)，即 y=2x+5.$ $(2)由(1)得 y=2x+5.\ $ $把(m-1，m+1)代入y=2x+5 中，得 m+1=2(m-1)+5，解得m=-2.$ $则m的值为-2.$
$解：(1)把A(0,1),B(1,2)分别代入y=kx+b(k≠0)中,$ $得\begin{cases}{b=1，}\\{k+b=2，}\end{cases}解得\begin{cases}{k=1，}\\{b=1.}\end{cases}$ $所以该函数的表达式为y=x+1.\ $ $由题意得点 C的纵坐标为4.$ $在y=x+1中，令y=4,得x+1=4，解得x=3.$ $所以点C的坐标为(3,4).$ $（更多请点击查看作业精灵详解）$
$证明：(1)因为点A 的坐标为(0,3)，点B 的坐标为 (-1,0),$ $点 D的坐标为(2,0),$ $所以OA=3,OB=1,OD=2,BD=3，即OA=BD.$ $又因为DE⊥x轴，所以∠BDE=∠CDE=90° .$ $又因为∠AOB=90°，所以 ∠AOB = ∠BDE.\ $ $又因为∠BED =∠ABO，所以△ABO≌△BED(\mathrm {AAS}).$ $（更多请点击查看作业精灵详解）$
$解：(2)由(1)得该函数的表达式为y=x+1.$ $令 x=3，得y=4.$ $因为当x＜3时，$ $函数y=\frac{2}{3}\ \mathrm {n}的值大于函数y=x+1 的值且小于4，$ $所以画出函数图像如图所示，$ $即直线y=\frac{2}{3}x+n过点(3,4).$ $所以4=\frac{2}{3}×3+n，$ $解得n=2.$ $则n的值为2.$
$解：(2)由(1)得△ABO≌△BED,OB=1,OD= 2,$ $所以OB=DE，$ $即 DE=1.$ $所以点E的坐标为(2,1).$ $设直线AE对应的函数表达式为y=kx+b,$ $所以\begin{cases}{b=3，}\\{2k+b=1，}\end{cases}$ $解得\begin{cases}{k=-1，}\\{b=3.}\end{cases}$ $所以直线AE对应的函数表达式为y=-x+3.$
$解：(3)由(2)得点E的坐标为(2,1)，$ $直线AE对应的函数表达式为y=-x+3.$ $令y=0，得-x+3=0，解得x=3.$ $所以点C的坐标为(3,0).$ $作点C关于y 轴的对称点C',$ $连接C'E,PC',$ $则点C'的坐标为(-3,0),PC'=PC.$ $所以PE+PC=PE+PC'≥C'E，$ $即当C'，E,P三点共线时，PE+PC取最小值.$ $设直线C'E的函数表达式为y=k_{1}x+b_{1},$ $所以\begin{cases}{2k_{1}+b_{1}=1，}\\{-3k_{1}+b_{1}=0，}\end{cases}$ $解得\begin{cases}{k_{1}=\frac 15，}\\{b_{1}=\frac 35.}\end{cases}$ $所以直线C'E的函数表达式为 y=\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}.$ $令x=0，得y=\frac{3}{5}.$ $所以此时点P的坐标为(0,\frac{3}{5}).$
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