$证明：(1)因为 AC⊥BP，所以∠ACP=90°.$
$所以 ∠PAC+∠APC=90°.$
$因为∠BOP=90°,所以∠PBO+∠APC=90°.$
$所以∠PAC=∠PBO.$
$(2)因为点A 的坐标为(-4,0)，点B 的坐标 为(0,4)，$
$所以OA=OB=4,$
$如图，设AC与y轴交于点H.$
$当m=3时，点P的坐标为(3,0)，所以OP=3.$
$设直线BP 的函数表达式为y=k_{1}x+b_{1}.$
$把B(0,4),P(3,0)分别代入y=k_{1}x+b_{1}中,$
$得\begin{cases}{b_{1}=4，}\\{3k_{1}+b_{1}=0，}\end{cases}解得\begin{cases}{k_{1}=-\frac 43，}\\{b_{1}=4. }\end{cases}$
$所以直线BP 的函数表达式为y=-\frac{4}{3}x+4.$
$由(1)得，∠PAC=∠PBO，所以∠HAO=∠PBO.$
$又因为∠AOH=∠BOP =90°，所以△AOH≌△BOP(\mathrm {ASA}).$
$所以OH=OP=3.$
$所以点 H的坐标为(0,3).$
$设直线AC 的函数表达式为y=k_{2}x+b_{2}.$
$把A(-4,0),H(0,3)分别代入y=k_{2}x+b_{2}中,$
$得\begin{cases}{-4k_{2}+b_{2}=0，}\\{b_{2}=3，}\end{cases}解得\begin{cases}{k_{2}=\frac{3}{4}，}\\{b_{2}=3.}\end{cases}$
$所以直线AC的函数表达式为y=\frac{3}{4}x+3.$
$联立方程组\begin{cases}{y=-\frac{4}{3}x+4，}\\{y=\frac{3}{4}x+3，}\end{cases}解得\begin{cases}{x=\frac {12}{25}，}\\{y=\frac{84}{25}.}\end{cases}$
$所以点C的坐标为(\frac{12}{25}，\frac{84}{25}).$
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