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$解：∵m-n^2=1即n^2=m-1≥0，m≥1$

$∴原式=m^2+2(m-1)+4m-1$

$=m^2+m+9-12$

$=(m+3)^2-12$

$则代数式m^2+2n^2+4m-1的最小值等于(1+3)^2-12$

$=4$

$解：(1)(2x-3)m+2m^2-3x$

$=2mx-3m+2m^2-3x$

$=(2m-3)x+2m^2-3m$

$∵多项式的值与x的取值无关$

$∴2m-3=0$

$解得m=\frac{3}{2}$

$(2)∵A=(2x+1)(x-1)-x(1-3y)，$

$B=-x^2+xy-1$

$∴3A+6B$

$=3[(2x+1)(x-1)-x(1-3y)]+6(-x^2+xy-1) $

$=3(2x^2-2x+x-1-x+3xy)-6x^2+6xy-6 $

$=6x^2-6x+3x-3-3x+9xy-6x^2+6xy-6 $

$=15xy-6x-9 $

$=(15y-6)x-9 $

$∵3A+6B的值与x无关 $

$∴15y-6=0，即y=\frac{2}{5} $

$(3)设AB=x，由图可知S_1=a(x-3b)，S_2=2b(x-2a)$

$∴S_1-S_2=a(x-3b)-2b(x-2a)=(a-2b)x+ab$

$∵当AB的长变化时，S_1-S_2的值始终保持不变$

$∴S_1-S_2的取值与x的值无关，$

$∴a-2b=0$

$∴a=2b$

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