第38页 - 数学 - 电子课本网

直线x=1

(一1,0)(3,0)

(1,-4)

1

0

b=2,c=0

a=4或-8或-2

一3

A(-1，0)

B(3，0)

$(2)(3)（更多请点击查看作业精灵详解）$

$P(4,5)或P(\frac{12}{5}，一\frac{51}{25})$

$(2)解:这样的点D存在,理由如下:\ $

$根据四边形ABDC可知,D位于抛物线上BC段之间\ $

$在抛物线的BC段上任取一点D,连结AC、CD、BD、$

$OD\ $

$将点C(0,-3)代入y= x^{ 2}-2x+k,可得\ k=-3\ $

$所以抛物线的解析式为y= x^{ 2}-2x-3\ $

$令y=0得,y= x^{ 2}-2x-3\ $

$解得x=-1或3\ $

$则点A、B的坐标分别为(-1,0)、(3,0)\ $

$设点D的坐标为(x,y)(x＞0,y＜0)\ $

$∵ 点A、B、C、D的坐标分别为(-1,0)、(3,0)、$

$C(0,-3)、(x,y)\ $

$∴ OA=1 OC=3 OB=3\ $

$△OBD的底边OB上的高为\left| y\right|,即-y,$

$△OCD底边OC的高为x\ $

$∴ \ S_{ △AOC}=\frac{1}{2}×3×1$

$=\frac{3}{2} \ S_{ △OBD}=\frac{1}{2}×3× (-y)$

$=-\frac{ 3y}{ 2} \ S_{ △OCD}=\frac{1}{2}×3x=\frac{ 3x}{ 2}\ $

$\ ∵ \ S_{ 四边形ABDC}= S_{ △AOC}+ S_{ △OCD}+ S_{ △OBD} \ S_{ △AOC}=\frac{3}{2} \ S_{ △OBD}=-\frac{ 3y}{ 2} \ S_{ △OCD}=\frac{ 3x}{ 2}\ $

$∴ \ S_{ 四边形ABDC}=\frac{3}{2}- \frac{ 3y}{ 2}+\frac{ 3x}{ 2}$

$\ ∵ 点D(x,y)在y= x^{ 2}-2x-3的图象上$

$\ ∴ 点D满足y= x^{ 2}-2x-3\ $

$∵ \ S_{ 四边形ABDC}=\frac{3}{2}- \frac{ 3y}{ 2}+\frac{ 3x}{ 2} \ y= x^{ 2}-2x-3\ $

$∴ \ S_{ 四边形ABDC}=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}× ( x^{ 2}-2x-3)+\frac{ 3x}{ 2}\ $

$∴ \ S_{ 四边形ABDC}=-\frac{3}{2}× (x-\frac{3}{2})^{ 2}+\frac{75}{8}$

$\ ∴ 当x=\frac{3}{2}时,四边形ABDC的面积最大,即为\frac{75}{8}\ $

$将x=\frac{3}{2}代入y= x^{ 2}-2x-3,$

$得\ \ y= (\frac{3}{2})^{ 2}-2×\frac{3}{2}-3=-\frac{15}{4}$

$\ ∴ 此时点D的坐标为(\frac{3}{2},-\frac{15}{4})\ $

$∴ 当点D的坐标为(\frac{3}{2},-\frac{15}{4})时,四边形ABDC的面积最大$

$为\frac{75}{8}$

$(2)解：设D(m，m^2-2m-3)，连接OD$

$则0＜m＜3，m^2-2m-3＜0$

$且S_{△AOC}=\frac{3}{2}$

$S_{△DOC}=\frac{3}{2}m$

$S_{△DOB}=-\frac{3}{2}(m^2-2m-3)$

$∴S_{四边形ABDC}=S_{△AOC}+S_{△DOC}+S_{△DOB}$

$=-\frac{3}{2}m^2+\frac{9}{2}m+6=-\frac{3}{2}(m-\frac{3}{2})^2+\frac{75}{8}$

$∴存在点D(\frac{3}{2}，-\frac{15}{4})$

$使四边形ABDC的面积最大，且最大值为\frac{75}{8}$

$(3)解：当P在x轴上方时$

$设PC与AB交点为E$

$S_{△APC}=S_{△APE}+S_{△AEC}$

$S_{△APB}=S_{△APE}+S_{△PEB}$

$求证点P坐标使S_{△APC}=S_{△APB}$

$转为使S_{△AEC}=S_{△PEB}$

$设点P坐标(m，m^2-2m-3)$

$将P代入PC：y=kx-3$

$k=m-2$

$PC：y=(m-2)x-3$

$将y=0代入得x_E=\frac {3}{m-2}$

$AE=\frac {3}{m-2}+1$

$BE=3-\frac {3}{m-2}$

$S_{△AEC}=\frac12×(\frac {3}{m-2}+1)×3$

$S_{△BEP}=\frac12×(3-\frac {3}{m-2})×(m^2-2m-3)$

$S_{△AEC}=S_{△BEP}$

$解得m=4，P(4,5)$

$当P在x轴下方时$

$要使S_{△APC}=S_{△APB}，当P到AB、AC的距离相等即可$

$设P(n,n^2-2n-3),AP:y=k_2x+b_2$

$将A(-1,0)和P代入AP$

$得$

$\begin{cases}{\ n^2-2n-3=nk_2+b_2 }\ \\ { 0=-k_2+b_2 } \end{cases}$

$解得\begin{cases}{k_2=n-3\ }\ \\ {b_2=n-3\ }\ \end{cases}$

$AP:y=(n-3)x+(n-3)$

$(n-3)x-y+(n-3)=0$

$点C到AP距离\frac {|n|}{\sqrt{(n-3)^2+1}}$

$点B到AP距离\frac {|4(n-3)|}{\sqrt{(n-3)^2+1}}$

$二者联立$

$解得n=\frac {12}{5},P(\frac {12}{5}，-\frac {51}{25})$

$综上P点坐标为P(4,5)或(\frac {12}{5}，-\frac {51}{25})$

$(3)解：①当P在x轴上方时,连接PC、AP、PB、BC、AC$

$设AB与PC交点为E$

$要使S_{△APC}=S_{△APB}，令S_{△AEC}=S_{PEB}即可$

$设P坐标(m，m^2-2m-3)$

$∵PC过点(0，-3)，设PC解析式为y=kx-3$

$代入点P坐标解得k=m-2$

$PC解析式为y=(m-2)x-3$

$将y=0代入PC解析式得$

$x_E=\frac {3}{m-2}$

$AE=\frac {3}{m-2}-(-1)=\frac {3}{m-2}+1$

$BE=3-\frac {3}{m-2}$

$S_{△AEC}=\frac12×(\frac {3}{m-2}+1)×3$

$S_{△PEB}=\frac12×(3-\frac {3}{m-2})×(m^2-2m-3)$

$令S_{△AEC}=S_{PEB}，解得$

$m=4，即P(4,5)$

$②当P在x轴下方时，连接AP、CP、BP、AC$

$要使S_{△APC}=S_{△APB}，令点C和点B到$

$AP的距离相等即可$

$设点P坐标(n，n^2-2n-3)$

$设AP解析式为y=kx+b$

$代入A、P两点得方程组$

$\begin{cases}{\ n^2-2n-3=nk+b }\ \\ {0=-k+b\ } \end{cases}$

$解得$

$\begin{cases}{ k=(n-3) }\ \\ {b=(n-3)\ } \end{cases}$

$AP解析式为(n-3)x-y+(n-3)=0$

$点C到AP距离为\frac {|3+(n-3))|}{\sqrt{(n-3)^2+1}}$

$点B到AP距离为\frac {|3(n-3)+(n-3)|}{\sqrt{(n-3)^2+1}}$

$令二式相等解得n=\frac {12}{5}$

$点P坐标(\frac {12}{5}，-\frac {51}{25})$

$综上点P坐标为(4,5)或(\frac {12}{5}，-\frac {51}{25})$