$解：∵当点P从点A运动到点D时，$
$PQ=PA$
$∴点Q运动轨迹是圆弧，如图，阴$
$影部分的面积即为线段PQ在平面$
$内扫过的面积$
$∵矩形ABCD中，AB=1，AD=\sqrt{3}$
$∴∠ABC=∠BAC=∠C=∠Q=90°$
$∴∠ADB=∠DBC=∠ODB=∠OBQ=30°$
$∴∠ABQ=120°$
$由矩形的性质和轴对称性可知$
$△BOQ≌△DOC$
$S_{△ABD}=S_{△BQD}$
$∴S_{阴影}=S_{四边形ABQD}-S_{扇形ABQ}$
$=2S_{△ABD}-S_{扇形ABQ}$
$=S_{矩形ABCD}-S_{扇形ABQ}$
$=1×\sqrt{3}-\frac{120π×1^2}{360}$
$=\sqrt{3}-\frac {π}{3}$
