第80页 - 数学 - 电子课本网

$(3)P(\frac {8}{3},0)$

$(1)解：由折叠性质得：△ANM≌△ADM$

$∴∠MAN=∠DAM$

$∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB$

$∴∠DAM=∠MAN=∠NAB$

$∵四边形ABCD是矩形$

$∴∠DAB=90°$

$∴∠DAM=30°$

$∴DM=AD×tan∠DAM=3×tan30°$

$=3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$

$(2)(3)（更多请点击查看作业精灵详解）$

$(2)解：$

$延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：$

$∵四边形ABCD是矩形，$

$∴AB//DC，$

$∴∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得：△ANM≌△ADM，$

$∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，$

$∴MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，$

$∵∠ANM=90°，$

$∴∠ANQ=90°， $

$在Rt△ANQ中，由勾股定理得：$

$AQ^2=AN^2+NQ^2，$

$∴（x+1）^2=3^2+x^2，解得：x=4，$

$∴NQ=4，AQ=5，$

$∵AB=4，AQ=5，$

$∴S△NAB=\frac45S_{△NAQ}=\frac45×\frac12AN•NQ=\frac45×\frac12×3×4=\frac {24}{5}$

$(3)解：$

$过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示：$

$∵四边形ABCD是矩形$

$∴AB//DC$

$∴∠HBA=∠BFC$

$∵∠AHB=∠BCF=90°$

$∴△ABH∽△BFC$

$∴BHAH=CFBC$

$∵AH≤AN=3，AB=4$

$∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，$

$此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图3所示：$

$由折叠性质得：AD=AH$

$∵AD=BC$

$∴AH=BC$

$在△ABH和△BFC中$

${{\begin{cases} {∠HBA=∠BFC } \\ {∠AHB=∠BCF } \\ {AH=BC} \end{cases}}}$

$∴△ABH≌△BFC(AAS)$

$∴CF=BH，由勾股定理得：$

$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$

$∴CF=\sqrt{7}$

$∴DF的最大值=DC-CF=4-\sqrt{7}$