第116页 - 数学 - 电子课本网

$解：(1)方案一：$

$铺设水管的总长度为$

$50×3=150（米）$

$方案二：铺设水管的总长$

$度为2\sqrt{50^2+50^2}$

$=100\sqrt{2}≈140（米），$

$∵140＜150，$

$∴方案二铺设水管的总长$

$度更短$

$(2)小明的方案中铺设水管$

$的总长度更短，理由如下：$

$∵AE=BE，GE⊥AB$

$∴AG=BG=\frac12AB=25(米)$

$∠AEG=∠BEG=\frac12∠AEB$

$=60°$

$ 同理DH=CH=25(米)$

$ ∠DFH=∠CFH=60° $

$在Rt△AEG中$

$ GE=\frac {AG}{tan60°}=\frac {25\sqrt{3}}{3}(米) $

$ AE=\frac {AG}{cos60°}=\frac {50\sqrt{3}}{3}(米) $

$ 同理FH=\frac {25\sqrt{3}}{3}(米)$

$ BE=CF=DF=AE=\frac {50\sqrt{3}}{3}(米)$

$ ∴EF=GH-GE-FH=(50-\frac {50\sqrt{3}}{3})(米)$

$∴方案中铺设水管的总长$

$度为\frac {50\sqrt{3}}{3}×4+50-\frac {50\sqrt{3}}{3}$

$=50\sqrt{3}+50≈135(米)$

$∵135＜140＜150$

$∴小明的方案中铺设水管的总长度最短$

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$解：如图1所示：作AE//BC，延长AE交CD于$

$点N，过点B作BT⊥EC于点T$

$当四边形ABCE为平行四边形$

$∵AB=BC$

$∴四边形ABCE是菱形$

$∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，BC//AN$

$∴∠ADC=30°，∠BAN=∠BCE=30°，则∠NAD=60°$

$∴∠AND=90°$

$∵四边形ABCE面积为2$

$∴设BT=x，则BC=EC=2x，故2x×x=2$

$解得：x=1（负数舍去），$

$则AE=EC=2，$

$EN=\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}，$

$故AN=2+\sqrt{3}，则AD=DC=4+2\sqrt{3} $

$如图2，当四边形BEDF是平行四边形$

$∵BE=BF$

$∴平行四边形BEDF是菱形$

$∵∠A=∠C=90°，∠B=150°$

$∴∠ADB=∠BDC=15°$

$∵BE=DE$

$∴∠AEB=30°$

$∴设AB=y，则BE=2y，AE=\sqrt{3}y$

$∵四边形BEDF面积为2$

$∴AB×DE=2y^2=2，$

$解得：y=1，$

$故AE=\sqrt{3}，DE=2，$

$则AD=2+\sqrt{3}$

$综上所述：CD的值为：2+\sqrt{3}或4+2\sqrt{3}\ $