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第142页

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$(1)证明：∵AB=AC$

$∴∠B=∠ACB$

$∵△ABC平移得到△DEF$

$∴AB//DE$

$∴∠B=∠DEC$

$∴∠DEC=∠ACB.$

$即△OEC为等腰三角形$

$(2)解：当E为BC中点时，四边形AECD$

$为矩形，理由如下：$

$∵AB=AC，E为BC中点$

$∴AE⊥BC，BE=EC$

$∵△ABC平移得到△DEF$

∴BE//AD，BE=AD

∴AD//EC，AD=EC

∵AE⊥BC

∴四边形AECD为矩形

$(1)解：∵DA'//AB$

$∴∠ABC=∠BDA'$

$∵∠BAC=∠A'ED=90°$

$∴△A'DE∽△CBA$

$∴∠DA'E=∠C$

$∵sinC=\frac34$

$∴sin∠DA'E=\frac34$

$即\frac {DE}{A'D}=\frac34$

$∵DA'=DA=DB=DC $

$∴\frac {DE}{DB}=\frac34$

$∴\frac {S_{△A'DE}}{S_{△A'DB}}=\frac34$

$∵\frac {S_{△A'DE}}{S_{△ABC}}=(\frac {DA'}{BC})^2=\frac14$

$∴\frac {S_{△A'DE}}{S_{△ABD}}=\frac12$

$设S_{△A'DE}=3k$

$则S_{△A'DB}=4k$

$S_{△ABD}=6k$

$∴\frac {S_{A'DE}}{S_{四边形A'DAB}}=\frac {3}{10}$

$(2)∠BA'E=∠DA'A$

$证明：$

$设∠BA'E=α，则∠A'BE=90°-α$

$∵DA'=DB$

$∴∠A'DB=2α$

$∵DA'//AB$

$∴∠ABD=2α$

$∴∠C=90°-2α$

$∵DA=DC$

$∴∠ADB=2(90°-2α)=180°-4α$

$∴∠ADA'=180°-2α$

$∵DA=DA'$

$∴∠DA'A=[180°-(180°-2α)]÷2=α$

$∴∠BA'E=∠DA'A$

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