第143页 - 数学 - 电子课本网

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$(1)解：原点O在⊙P外，理由如下：$

$∵直线y=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}与 x 轴$

$、 y 轴分别交于 A ， B 两点$

$∴点 A 的坐标为(2,0)，点 B 的坐标$

$为(0，-2)$

$在 Rt △ OAB 中，$

$tan∠OBA= \frac {OA}{OB}=\frac {2}{2\sqrt{3}}=\frac {\sqrt{3}}{3}$

$∴∠ OBA ＝ 30°$

$如图①过点 O 作 OH ⊥ AB 于点 H\ $

$在 Rt △ OBH 中,OH＝OB×sin∠OBA$

$＝\sqrt{3}$

$∵\sqrt{3}＞1$

∴原点O在⊙P外

$(2)解：如图②，当⊙P过点B时，点P在y轴右侧时$

$∵ PB ＝ PC\ $

$∴∠PCB＝∠OBA＝30°$

$∴⊙ P 被 y 轴所截的劣弧所对的圆心角的度数为$

$180°－30°－30°＝120°$

$∴弧长为\frac {120°×π×1}{180}=\frac {2π}{3}$

$同理当⊙P过点B时，点P在y轴左侧时，弧长同$

$样为\frac {2π}{3}$

$∴当⊙P过点B时，⊙P被y轴所截得的劣弧的长为$

$\frac {2π}{3}$

$(3)解：如图③当⊙P与x轴相切时，且位于x轴下方时，设切点为D，$

$作PD⊥x轴$

$∴PD//y轴$

$∴∠APD=∠ABO=30°$

$在Rt△DAP中AD=DP×tan∠DPA=1×tan30°=\frac {\sqrt{3}}{3}$

$∴OD=OA-AD=2-\frac {\sqrt{3}}{3}$

$∴此时点D的坐标为(2-\frac {\sqrt{3}}{3}，0)$

$当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时$

$根据对称性可求得此时切点的坐标为(2+\frac {\sqrt{3}}{3}，0)$

$综上所述，当⊙P与x轴相切时，切点的坐标为$

$(2-\frac {\sqrt{3}}{3}，0)或(2+\frac {\sqrt{3}}{3}，0)$

$(1)解：$

如图①中,取DE的中点M,连接PM

$∵四边形ABCD是矩形$

$∴∠BAD=∠C=90°$

$由翻折可知$

$AO=OP,AP⊥DE,∠2=∠3,∠DAE=∠DPE=90°$

$在Rt△EPD中$

$∵EM=MD$

$∴PM=EM=DM$

$∴∠3=∠MPD$

$∴∠1=∠3+∠MPD=2∠3$

$∵∠ADP=2∠3$

$∴∠1=∠ADP$

$∵AD//BC$

$∴∠ADP=∠DPC$

$∴∠1=∠DPC$

$∵∠MOP=∠C=90°$

$∴△POM∽△DCP$

$∴\frac {PO}{PM}=\frac {CD}{PD}=\frac {8}{12}=\frac {2}{3}$

$∴\frac {AP}{DE}=\frac {2PO}{2PM}=\frac23$

$(2)解：如图②中,过点P作GH//BC交AB于G，$

$交CD于H。则四边形AGHD是矩形，设EG=x，则BG=4-x$

$∵∠A=∠EPD=90°,∠EGP=∠DHP=90°$

$∴∠EPG+∠DPH=90°,∠DPH+∠PDH=90°$

$∴∠EPG=∠PDH$

$∴△EGP∽△PHD$

$∴\frac {EG}{PH}=\frac {PG}{DH}=\frac {EP}{PD}=\frac {4}{12}=\frac13$

$∴PG=2EG=3x$

$DH=AG=4+x$

$在Rt△PHD中$

$∵PH^2+DH^2=PD^2$

$∴(3x)^2+(4+x)^2=12^2$

$解得x=\frac {16}{5}(负值已舍)$

$∴BG=4-\frac {16}{5}=\frac45$

$在Rt△EGP中$

$GP=\sqrt{EP^2-EG^2}=\frac {12}{5}$

$∵GH//BC$

$∴△EGP∽△EBF$

$∴\frac {EG}{EB}=\frac {GP}{BF}$

$∴\frac {\frac {16}{5}}{4}=\frac {\frac {12}{5}}{BF}$

$∴BF=3$