$解：(1)函数图象与x轴只有一个公共点，所以 $
$b^2-4ac=0，即(-4a)^2-4a=0$
$16a^2-4a=0$
$4a(4a-1)=0$
$∴a_1=0,a_2=\frac14$
$当a=0时，y=1不是二次函数(舍)$
$当a=\frac14时，y=\frac14x^2-x+1符合题意$
$∴a=\frac14$
$(2)∵C在抛物线y=\frac14x^2-x+1上$
$∴设C(m，\frac14m^2-m+1)(0＜m＜2)$
$∴S_{△ABC}=S_{△AOB}-S_{△BOC}-S_{△AOC}$
$令y=0，\frac14x^2-x+1=0$
$解得x=2，A(2,0)$
$令x=0，解得y=1，B(0,1)$
$∴S_{△AOB}=2×1×\frac12=1$
$S_{△BOC}=1×m×\frac12=\frac12m$
$S_{△AOC}=2×(\frac14m^2-m+1)×\frac12$
$=\frac14m^2-m+1$
$∴S_{△ABC}=S_{△AOB}-S_{△BOC}-S_{△AOC}$
$=-\frac14m^2+m$
$=-\frac14(m-1)^2+\frac14$
$∴当m=1时，S_{△ABC}最大$
$y=\frac14-1+1=\frac14$
$此时C坐标(1，\frac14)$
$(3)猜测点P坐标(2,1)$
$-\frac {b}{2a}=2$
$∴抛物线对称轴为直线x=2$
$设点P(2,e)$
$∵点D在抛物线y=\frac14x^2-x+1上$
$∴设D(g,\frac14g^2-g+1)(g≠2)$
