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$解：(2)∵AC=OA，AP=OA$

$∴AC=AP，∴∠P=∠ACP$

$∴∠OAC=∠ACP+∠P=2∠ACP$

$∵△AOC是等边三角形，∴∠ACO=∠OAC=60°$

$∴2∠ACP=60°，∴∠P =∠ACP = 30°$

$∴∠OCP =∠ACO+∠ACP=90°$

$∵⊙O的半径是2，∴OC=2$

$∴OP=2OC=4，∴PC=\sqrt{OP²-OC²}=2 \sqrt{3}$

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$证明：(2)连接OM，ON$

$∵△OCD≌△OCE$

$∴∠OCD=∠OCE，∠ODC=∠OEC$

$∵OC=OM=ON$

$∴∠OCD=∠OMD，∠OCE=∠ONE$

$∴∠OMD=∠ONE$

$∵∠ODC=∠OMD+∠MOD，∠OEC=∠ONE+∠NOE$

$∴∠MOD=∠NOE$

$∴\widehat{AM}=\widehat{BN}$

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