第66页 - 亮点给力提优课时作业本九年级数学江苏版

A

2

$证明：(1)如图，∵I是△ABC的内心，∴∠2= \frac{1}{2}∠ABC$

$∵DG 平分∠ADF，∴∠1=\frac{1}{2}∠ADF$

$∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°$

$∵∠ADC+∠ADF=180°，∴∠ADF=∠ABC，∴∠1=∠2$

$∵∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴DG//CA$

$(2)如图，∵I是△ABC的内心，∴∠5= ∠6，∠2=∠7$

$∵∠2=∠3，∴∠3=∠7$

$∵∠4=∠5+∠7，∠DAI=∠6+∠3，∴∠4=∠DAI，∴AD=ID$

$解：∵AB=AC，AD是△ABC 的中线，BC=8$

$∴BD=CD=\frac{1}{2}BC=4，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC$

$∴∠ADB=90°且P，Q 两点都在直线AD上$

$∴△ABC的内切圆⊙Q 与BC相切于点 D$

$∵AD=3，∴AC=AB=\sqrt{AD²+BD²}=5$

$如图，连接PA，PB$

$设PA=PB=R，QD=r，则PD=PA-AD=R-3$

$∵∠PDB=180°-∠ADB=90°$

$∴PD²+BD²=PB²，即(R-3)²+4²=R²，解得 R=\frac{25}{6}，∴PD=\frac{7}{6}$

$∵S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC\ \cdot\ AD= \frac{1}{2}(AB+AC+BC)\ \cdot\ r$

$∴\frac{1}{2}×8×3=\frac{1}{2}×(5+5+8)×r，解得r=\frac{4}{3}$

$∴QD=\frac{4}{3}，∴PQ=PD+QD=\frac{5}{2}$

$∴点P 与点Q 之间的距离为\frac{5}{2}$