$解：(1)设两动点运动t s 时，四边形PBCQ 的面积是矩形ABCD面积的\frac{4}{9}$
$∵AB=6\ \mathrm {cm}，AD=2\ \mathrm {cm}$
$∴S_{矩形ABCD}=AB\ \cdot\ AD=12\ \mathrm {cm}²$
$∵AP=2t\ \mathrm {cm}，CQ=t\ \mathrm {cm}$
$∴BP=AB-AP=(6-2t)\ \mathrm {cm}$
$∵BC=AD=2\ \mathrm {cm}$
$∴S_{四边形PBCQ}=\frac{1}{2}(CQ+BP)\ \cdot\ BC=(6-t)\ \mathrm {cm}²$
$∴6-t=\frac{4}{9}×12，解得t=\frac{2}{3}$
$故两动点运动\frac{2}{3}\ \mathrm {s} 时，四边形PBCQ 的面积是矩形ABCD面积的\frac{4}{9}$
$(2)设两动点运动x\ \mathrm {s} 时，点P 与点Q 之间的 距离为 \sqrt{5}\ \mathrm {cm}$
$分类讨论如下：$
$① 当0≤x≤3时，点P 在线段AB上，过点P 作PE⊥CD于点E$
$则PE=AD=2\ \mathrm {cm}，∠PEQ=90°$
$∴PE²+EQ²=PQ²$
$∵BP=(6-2x)\ \mathrm {cm}，CQ=x\ \mathrm {cm}$
$∴EQ=|BP-CQ|=|6-3x|\ \mathrm {cm}$
$∴2²+|6-3x|^2=(\sqrt{5})²$
$解得x_{1}=\frac{5}{3}，x_{2}=\frac{7}{3}$
$②当3＜x≤4时，点P 在线段BC上，PC²+CQ²=PQ²$
$∵PC=(8-2x)\ \mathrm {cm}$
$∴(8-2x)²+x²=(\sqrt{5})²，该方程无解$
$综上所述，存在某一时刻，点P 与点Q 之间的距离为 \sqrt{5}\ \mathrm {cm}，$
$且运动所需的时间为\frac{5}{3}\ \mathrm {s} 或\frac{7}{3}s$
