$解：(1)如图，直线l_{1}，l_{2}即为所求作的图形$
$在 y=x+2 \sqrt{2}中，令x=0，得y=2 \sqrt{2}$
$∴B(0，2 \sqrt{2})，∴OB=2 \sqrt{2}$
$令y=0，得x+2 \sqrt{2}= 0，解得x=-2 \sqrt{2}$
$∴A(-2\sqrt 2，0)$
$∴OA=2 \sqrt{2}$
$∴OA=OB$
$∴△ABO是等腰直角三角形$
$过点 B 作 BC⊥l_{1}于点C，则 BC=1$
$易知△BCD是等腰直角三角形，且CD=BC=1$
$∴BD= \sqrt{2}$
$∴点D的坐标是(0，3 \sqrt{2})$
$同理，点E的坐标是(0，\sqrt{2})$
$故该图形与y轴交点的坐标是(0，3 \sqrt{2})和(0，\sqrt{2})$
$(2)∵∠AOB=90°，OA=OB=2 \sqrt{2}$
$∴AB= \sqrt{OA²+OB²}=4$
$过点O作OF⊥AB于点F，则AF=BF$
$∴OF=\frac{1}{2}AB=2$
$当0＜r＜2-1，即 0＜r＜1时，⊙O上到直线y=x+2 \sqrt{2}的距离为1的点有0个；$
$当 r=1时，⊙O上到直线y=x+2 \sqrt{2}的距离为1的点有1个；$
$当1＜r＜2+1，即 1＜r＜3时，⊙O上到直线y=x+2 \sqrt{2}的距离为1的点有2个；$
$当r=3时，⊙O上到直线y=x+2 \sqrt{2}的距离为1的点有 3个；$
$当 r＞3时，⊙O上到直线y=x+2 \sqrt{2}的距离为1的点有4个$
