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$证明：(1)∵AD//BC，DF//AB$

$∴四边形ABED 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADF$

$∵∠AFC= ∠ABC，∠ACF = ∠ADF，∴∠AFC=∠ACF，∴AC=AF$

$解：(2)连接OA，OC$

$∵AC=AF，∠CAF=30°$

$∴∠AFC=∠ACF=\frac{1}{2}(180°-∠CAF)=75°$

$∴∠AOC=2∠AFC=150°$

$∵⊙O的半径为3，∴\widehat{AC}的长为\frac{150π×3}{180}=\frac {5π}2$

$解：(2)∵OB=BF，OB=OD$

$∴OF= 2OD$

$∵∠ODF=90°，∴∠F=30°$

$∴∠DOF= 90°- ∠F = 60°$

$∴∠A =\frac{1}{2}∠DOF=30°$

$∴∠A=∠F，∴AD=DF$

$∵∠OBE=90°$

$∴∠EBF=180°-∠OBE=90°，∴BE=\frac{1}{2}EF$

$∵EF=4，∴DE=BE=2，∴AD=DF=DE+EF=6$

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$解：(2)∵AB=4 \sqrt{3}，∴OB=\frac{1}{2}AB=2 \sqrt{3}$

$∵∠ABD=90°，∠D=30°$

$∴∠BAD=90°-∠D=60°，AD=2AB=8 \sqrt{3}$

$∴∠BOC=2∠BAD=120°，BD= \sqrt{AD²-AB²}=12$

$∴BE=\frac{1}{2}\ \mathrm {BD}=6$

$∴S_{△OBE}=\frac{1}{2}\ \mathrm {OB}\ \cdot\ BE=6 \sqrt{3}$

$∴S_{四边形OBEC}=2S_{△OBE}=12 \sqrt{3}$

$∵S_{扇形OBC}=\frac{120π×(2\sqrt{3})^2}{360}=4π$

$∴S_{阴影} =S_{四边形OBEC}-S_{扇形OBC}=12 \sqrt{3}-4π$

$∴阴影部分的面积为12 \sqrt{3}-4π$

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