$解：因为多项式 x^{2}-2 m x+3 与$
$\frac{1}{3} n x^{2}+2 x-1的差与x的取值无关，$
$所以 x^{2}-2 m x+3- (\frac{1}{3} n x^{2}+2 x-1 )$
$=x^{2}-2 m x+3- \frac{1}{3} n x^{2}-2 x+1$
$= (1-\frac{1}{3} n ) x^{2}-(2 m+2) x+4 ，$
$所以 1-\frac{1}{3} n= 0，2 m+2=0 ，$
$解得n=3， m=-1.$
$4mn-[3m-2m^{2}-6(\frac{1}{2}m-\frac{2}{3} m n+\frac{1}{6} n^{2} ) ]$
$=4 m n- 3 m+2 m^{2}+6 (\frac{1}{2} m-\frac{2}{3} m n+\frac{1}{6} n^{2} )$
$=4 m n-3 m+2 m^{2}+3 m- 4 m n+n^{2}$
$=2 m^{2}+n^{2} .$
$当 n=3， m=-1 时，原式 =2 \times(-1)^{2}+3^{2}=2+9=11 .$
