$解：(1)∵四边形ABCD为矩形$
$∴AD=BC= \sqrt{3}，CD=AB=1，∠B=∠C=90°$
$设CE=x，则DE=CD-CE=1-x$
$由折叠的性质，得AB'=AB=1，B'C'=BC= \sqrt{3}，$
$C'E=CE=x，∠B'=∠B=90°，∠C'=∠C=90°$
$则B'D=\sqrt{AD²-AB'^2}= \sqrt{2}$
$∴C'D=B'C'-B'D=\sqrt{3}- \sqrt{2}$
$∵C'D²+C'E²=DE²$
$∴(\sqrt{3}-\sqrt{2})²+x²=(1-x)²，解得x= \sqrt{6}-2$
$∴CE的长为 \sqrt{6}-2$
$(2)连接 AC，AC'$
$∵AB=1，BC= \sqrt{3}，∠B=90°，∴AC= \sqrt{AB²+BC²}=2$
$由折叠的性质，得AC'=AC=2，∴点C'的运动路径是以点A 为圆心，2为半径的圆弧$
$当点 E运动到点D 时，点C'恰好在CD 的延长线上，且C'D=CD=1$
$∴CC'=C'D+CD=2，∴CC'=AC'=AC，∴△ACC'为等边三角形，∴∠CAC'=60°$
$∴点C'运动的路径长为\frac{60π×2}{180}=\frac {2π}3$
