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$解：(1)△BDE是等腰直角三角形，证明如下：$

$∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°$

$∵AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC$

$∴∠BAE=\frac{1}{2}∠BAC，∠ABE=\frac{1}{2}∠ABC$

$∴∠BED=∠BAE+∠ABE=\frac{1}{2}(∠BAC+∠ABC)=\frac{1}{2}(180°-∠ACB)=45°$

$∴∠DBE=90°-∠BED=45°，∴∠BED=∠DBE$

$∴BD=DE，∴△BDE是等腰直角三角形$

$(2)连接OC，OD，CD，设OD交BC于点F$

$∵AE平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴\widehat{BD}=\widehat{CD}，∴BD=CD$

$又OB=OC，∴OD垂直平分BC，∴∠OFB=∠DFB=90°，BF=\frac{1}{2}BC$

$∵∠ADB=90°，BD=DE，∴BE= \sqrt{BD²+DE²}= \sqrt{2}BD$

$又BE=2 \sqrt{10}，∴BD=2 \sqrt{5}$

$∵AB=10，∴OB=OD=\frac{1}{2}AB=5$

$设OF=x，则DF=OD-OF=5-x$

$∵BF²+OF²=OB²，BF²+DF²=BD²$

$∴OB²-OF² =BD²-DF²，即 5²-x²=(2 \sqrt{5})²-(5-x)²，解得x=3$

$∴OF=3，∴BF= \sqrt{OB²-OF²}=4，∴BC=2BF=8$

$解：(1)连接OE，过点O作OM⊥AE于点M$

$则 AM=\frac{1}{2}AE，∠OMA=90°$

$∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°，∴∠C=90°-∠CDF = 75°$

$∵AB =AC，∴∠ABC=∠C=75°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=30°$

$∵⊙O的半径为3，∴OA=3，∴OM=\frac{1}{2}\ \mathrm {OA}=\frac{3}{2}$

$∴AM=\sqrt{OA²-OM²}= \frac{3\sqrt{3}}{2}，∴AE=2AM=3 \sqrt{3}$

$∵OA=OE，∴∠AEO=∠BAC=30°，∴∠AOE=180°-∠AEO-∠BAC=120°$

$∴S_{扇形OAE}=\frac{120π×3^2}{360}=3π$

$∵S_{△OAE}=\frac{1}{2}AE\ \cdot\ OM=\frac{9\sqrt{3}}{4}$

$∴S_{阴影}=S_{扇形OAE}-S_{△OAE}=3π-\frac{9\sqrt{3}}{4}$

$证明：(2)连接 BE$

$∵AB 为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴BE⊥AC$

$∵DF⊥AC，∴BE//DF，∴∠CBE=∠CDF$

$∵∠CBE=∠CAD，∴∠CDF=∠CAD$

$∵四边形ABDE 内接于⊙O，∴∠AED+ ∠ABC=180°$

$∵∠AED+∠DEC=180°，∴∠DEC=∠ABC$

$∵∠ABC=∠C，∴∠DEC=∠C，∴DE =DC，∴∠CDF=∠EDF，∴∠CAD=∠EDF$