解：$(2)$汽车不会被判超速行驶的最短时间：$t=\frac {s}{v}=\frac {20\ \mathrm {km}}{100\ \mathrm {km/h}}=0.2\ \mathrm {h}$；
$(3)$汽车在后半段路程的速度$v_{后}=90\ \mathrm {km/h}$，
则汽车在后半段所用时间$t_{后}=\frac {\frac {1}{2}\ \mathrm {s}}{v_{后}}=\frac {\frac {1}{2}×20\ \mathrm {km}}{90\ \mathrm {km/h}}=\frac {1}{9}\ \mathrm {h}$，
根据题意可得，汽车在前半段所用的时间$t_{前}=t-t_{后}=0.2\ \mathrm {h}-\frac {1}{9}\ \mathrm {h}=\frac {4}{45}\ \mathrm {h}$，
该车在区间测速前一半路程的速度$v_{前}=\frac {\frac {1}{2}\ \mathrm {s}}{t_{前}}=\frac {\frac {1}{2}×20\ \mathrm {km}}{\frac {4}{45}\ \mathrm {h}}=112.5\ \mathrm {km/h}.$
