$证明：(1)连接AC，AD，CE$
$∵AE是⊙O的直径$
$∴∠ACE=90°$
$∴∠CAE+∠E=90°$
$∵AB⊥CD$
$∴∠BAD+∠D=90°$
$∵∠D=∠E$
$∴∠CAE=∠BAD$
$∴\widehat{CE}=\widehat{BD}$
$解：(2)如图所示，作直径 DE，连接 AE，则 AE 即为所求$
$(3)如图，作直径AE，连接BE，则∠ABE= 90°$
$同(1)可得\widehat{BE}=\widehat{CD}$
$∴BE=CD$
$∵AB+CD=16$
$∴AB+BE=16$
$设AB=x，则BE=16-x$
$∵⊙O的半径为 6$
$∴AE=6×2=12$
$∵AB²+BE²=AE²$
$∴x²+(16-x)²=144，解得x=8±2 \sqrt{2}$
$∵AB＞CD$
$∴x=8-2 \sqrt{2}不合题意，舍去$
$∴AB的长为8+2 \sqrt{2}$
