$解：(2)过点O作OH⊥BD于点H，连接 OB，OD，则∠OHB=90°，BH=\frac{1}{2}\ \mathrm {BD}$
$∵⊙O的半径为6，∴OB=6$
$∵∠BCD=60°，∴∠BOD=2∠BCD=120°$
$∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=\frac{1}{2}(180°-∠BOD)=30°$
$∴OH=\frac{1}{2}\ \mathrm {OB}=3，∴BH= \sqrt{OB²-OH²}=3 \sqrt{3}，∴BD=2BH=6 \sqrt{3}$
$∵四边形ABCD为“奇妙四边形”，∴AC=BD=6 \sqrt{3}$
$(3)OM=\frac{1}{2}AD，证明如下：$
$过点O作OE⊥AD 于点E，连接 OA，OB，OC，OD$
$则∠OEA=∠BMO=90°，AE=\frac{1}{2}AD$
$∵OB=OC，OM⊥BC，∴∠BOC=2∠BOM$
$∵∠BOC=2∠BAC，∴∠BOM=∠BAC$
$同理可得∠AOE=∠ABD$
$∵四边形ABCD 为“奇妙四边形”$
$∴AC⊥BD，∴∠BAC+∠ABD=90°，∴∠BOM+∠AOE=90°$
$∵∠BOM+∠OBM=90°$
$∴∠OBM=∠AOE$
$在△OBM和△AOE 中$
$\begin{cases}{∠BMO=∠OEA}\\{∠OBM=∠AOE}\\{OB=AO}\end{cases}$
$∴△OBM≌△AOE$
$∴OM=AE$
$∴OM=\frac{1}{2}AD$
