$证明：(1)过点 A 作AG⊥DC 于点G，则∠AGD= 90°$
$∵∠D=45°，∴∠DAG=90°-∠D=45°$
$∴∠DAG=∠D，∴AG=DG$
$∴AD= \sqrt{AG²+DG²}= \sqrt{2}AG$
$∵AD=2 \sqrt{2}，∴\sqrt{2}AG=2 \sqrt{2}，∴AG=2$
$∵⊙A 的半径为2，∴AG 为⊙A 的半径$
$∵AG⊥DC，∴直线DC与\odot A相切$
$解：(2)作线段AB 的垂直平分线，与 \widehat{EF}交于点 M，连接BM，$
$则直线BM即为所求，如图所示。$
$(3)能从剩下的纸片中剪出一个圆作为该圆锥的底面，理由如下：$
$∵AB//DC，∠D=45°，∴∠BAD=180°-∠D=135°$
$∵⊙A 的半径为2，∴\widehat{EF}的长为\frac{135π×2}{180}=\frac{3π}{2}$
$∴以扇形AEF为侧面的圆锥的底面圆的半径为\frac{3π}{2}÷ 2π=\frac{3}{4}$
$设\odot A的切线BM与CD交于点P，连接AM，则∠AMB=90°$
$∵AB=2 \sqrt{2}，AM=2，∴BM= \sqrt{AB²-AM²}=2$
$∴AM=BM，∴∠BAM=∠ABM=\frac{1}{2}(180°-∠AMB)=45°$
$∴∠DAM=∠BAD-∠BAM=90°，∴∠AMB=∠DAM$
$∴AD//BP，∴∠BPC=∠D=45°，四边形ABPD为平行四边形$
$∴BP=AD=2 \sqrt{2}$
$∵BC=2 \sqrt{2}，∴BC=BP$
$∴∠C=∠BPC=45°，∴∠PBC=180°-∠BPC-∠C=90°$
$∴S_{△PBC}=\frac{1}{2}BC\ \cdot\ BP=4，CP= \sqrt{BC²+BP²}=4$
$设△PBC的内切圆的半径为 r，则 S_{△PBC}=\frac{1}{2}(BC+BP+CP)r$
$∴\frac{1}{2}×(2 \sqrt{2}+2 \sqrt{2}+4)×r=4$
$解得r=2 \sqrt{2}-2$
$∵2 \sqrt{2}-2＞\frac{3}{4}$
$∴能从剩下的纸片中剪出一个圆作为该圆锥的底面$
