$解：(1)①解方程x²-4x-5=0，得x_{1}=5，x_{2}= -1$
$∵|x_{1}-x_{2}|=6，∴该方程不是“差根方程”\ $
$②解方程2x²-2 \sqrt{3}x+1=0，得x_{1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}，x_{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
$∵|x_{1}-x_{2}|=1，∴该方程是“差根方程”$
$(2)解方程x²+2mx=0，得x_{1}=0，x_{2}=-2m$
$∵该方程是“差根方程”，∴|x_{1}-x_{2}|=1，∴|2m|=1，解得m=±\frac{1}{2}$
$故 m 的值为\frac{1}{2} 或-\frac{1}{2}$
$(3)设x_{1}、x_{2}是关于x 的一元二次方程ax²+ bx+1=0(a＞0)的两个实数根$
$则x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}，x_{1}x_{2}=\frac{1}{a}$
$∵该方程是“差根方程”，∴|x_{1}-x_{2}|=1，∴|x_{1}-x_{2}|²=1$
$∴(x_{1}+x_{2})²-4x_{1}x_{2}=1，∴\frac{b^2}{a²}-\frac{4}{a}=1$
$∴b²-4a=a²，∴a与b之间的数量关系为b²=a²+4a$
