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$解：连接 AD，过点 B 作 BH⊥CD 于点 H，则 ∠BHC=∠BHD=90°$

$∵AB 是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°$

$∵P 是△ABC 的内心，∴∠ACD = ∠BCH =\frac{1}{2}∠ACB=45°$

$∴\widehat{AD}=\widehat{BD}，∴AD=BD$

$∴AB= \sqrt{AD²+BD²}= \sqrt{2}\ \mathrm {BD}$

$∵⊙O的半径为 3 \sqrt{2}，∴AB=6 \sqrt{2}$

$∴\sqrt{2}BD=6 \sqrt{2}，∴BD=6$

$∵∠CBH=90°-∠BCH=45°，∴∠BCH=∠CBH，∴BH=CH$

$设BH=CH=x，则 BC= \sqrt{BH²+CH²}=\sqrt{2}x$

$∵CD=8，∴DH=CD-CH=8-x$

$∵BH²+DH²=BD²，∴x²+(8-x)²=36$

$解得x=4± \sqrt{2}，∴BC=4 \sqrt{2}±2$

$∵BC＞AC，∴BC=4 \sqrt{2}-2不合题意，舍去$

$故BC的长为4 \sqrt{2}+2$

$解：(1)点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上，理由如下：$

$连接DM，EM$

$∵BD，CE是△ABC的高$

$∴BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC=∠BEC=90°$

$∵M是BC的中点，∴DM=EM=BM=CM=\frac{1}{2}BC$

$∴点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上$

$(2)连接AF 并延长，交BC 于点G，作⊙O的直径 BH，$

$连接 AH，CH，则∠BAH=∠BCH=90°$

$∴AH⊥AB，CH⊥BC$

$∵CE⊥AB，∴AH//CE$

$∵BD，CE 是△ABC的高$

$∴AG 是△ABC的高，∴AG⊥BC，∴AG//CH$

$∴四边形AFCH是平行四边形，∴AH=CF=6$

$∵AB=8，∴BH=\sqrt{AB²+AH²}=10$

$∴OB=\frac{1}{2}\ \mathrm {BH}=5$

$故△ABC外接圆的半径为5$

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