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$证明：(1)连接OD$

$∵OB=OD，∴∠ODB= ∠PBD$

$∵∠PDA=∠PBD，∴∠ODB=∠PDA$

$∵AB 是半圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠ODB=90°$

$∴∠ADO+∠PDA=90°，∴∠ODP=90°，∴OD⊥PD$

$∵OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线$

$解：(2)∵BE是⊙O的切线，∴OB⊥BE，∴∠OBE=90°$

$∵∠BED=60°，∴∠P=90°-∠BED=30°$

$∵∠ODP=90°，∴OP=2OD，∴PD= \sqrt{OP²-OD²}= \sqrt{3}OD$

$又PD= \sqrt{3}，∴\sqrt{3}OD= \sqrt{3}$

$∴OA=OD=1，∴OP=2，∴PA=OP-OA=1$

$解：(1)设第二周每千克草莓的销售价格为x元，则第一周每千克草莓的销售价格为(x+10)元$

$由题意，得第一周草莓的销量为 180×\frac{4}{4+5}=80(\ \mathrm {kg})，$

$第二周草莓的销量为 180×\frac{5}{4+5}=100(\ \mathrm {kg})$

$则80(x+10)+100x=11600，解得x=60$

$故第二周每千克草莓的销售价格为60元$

$(2)由题意，得第三周草莓的销量为100×(1+ 20\%)=120(\ \mathrm {kg})$

$则通过会员优惠活动购买的销量为 120×\frac{a}{6}=20a(\ \mathrm {kg})$

$∴20a(60-a)+60(120-20a)=6200+100a$

$整理，得a²+ 5a-50=0$

$解得a_{1}=5，a_{2}=-10(不合题意，舍去)$

$故a 的值为5$