$证明：(1)如图，连接OC$
$∵PC是⊙O的切线$
$∴OC⊥PC$
$∴∠PCO=90°$
$∴∠OCA+∠PCA=90°$
$∵AB 是⊙O的直径$
$∴∠ACB=90°$
$∴∠OAC+∠ABC=90°$
$∵OA =OC$
$∴∠OCA =∠OAC$
$∴∠PCA=∠ABC$
$解：(2)如图，∵∠P=40°$
$∴∠AOC=90°- ∠P=50°$
$∵AB=12$
$∴OA=\frac{1}{2}AB=6$
$分类讨论如下：$
$① 当∠AOQ_{1}=∠AOC=50°时，△ABQ_{1}与△ABC的面积相等$
$此时动点Q 经过的弧长为\frac{50π×6}{180}=\frac{5π}{3}$
$② 当∠BOQ_{2}=∠AOC=50°，即∠AOQ_{2}=130°时，△ABQ_{2}与△ABC 的面积相等$
$此时动点Q 经过的弧长为\frac{130π×6}{180}=\frac{13π}{3}$
$③ 当∠BOQ_{3}=50°，即∠AOQ_{3}=130°时，△ABQ_{3}与△ABC 的面积相等$
$此时动点 Q 经过的弧长为\frac{(360-130)π×6}{180}=\frac{23π}{3}$
$综上所述，当△ABQ 与△ABC的面积相等时，$
$动点 Q 经过的弧长为\frac{5π}{3}或\frac{13π}{3}或\frac {23π}3$
