$解:连接OA, OB作OG⊥AB于G ,则OG=6. $
$因为六边形ABCDEF是正六边形，$
$所以∠AOB=360°÷6=60°，OA=OB$
$所以△AOB是等边三角形,$
$所以∠OAB=60°，AG= \frac{1}{2}AB.$
$因为在Rt△AOG中, OG=6,∠OAB=60°$
$所以AG= 2\sqrt{3}$
$所以AB= 4\sqrt{3}$
$所以正六边形ABCDEF的周长=6AB= 24\sqrt{3}$
$正六边形ABCDEF的面积= 6S△AOB=6×\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×6= 72\sqrt{3}$
$ $
