解:(1)如图所示,连接OA.
因为AB切圆O于点A，
所以∠OAB=90°
在Rt△OAB中, AB= $3\sqrt{3}$,
设OA=R ,则OB=2R ,
由勾股定理,得(2R)²= R² + ( $3\sqrt{3}$)²,
解得: R=3.
故圆O的半径为3.
(2)因为△OAB是直角三角形,且OB=2OA ,
所以∠B=30°.
所以∠AOB= 60°
所以∠ACB= $\frac{1}{2}$∠AOB=30°.
(3) $S阴影=S△OAB-S扇形OAD $.
= $\frac{1}{2}AB×OA-\frac{1}{6}S圆$
= $\frac{1}{2}×3\sqrt{3}×3-\frac{1}{6}×π×3²$
= $\frac{9\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}π$
