$证明:(1)∵DE是线段AC的垂直平分线，$ $ ∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形，$ $ ∴∠EAC=∠C,$ $ ∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C.$ $ 又∠B=2∠C，$ $∴∠AEB=∠B,$ $∴AB=AE,$ $ ∴△EAB是等腰三角形，$ $ ∴AE是△ABC的一条特异线.$
$解:①情况一:AC+AD=6,BC+BD=15.\ $ $∵AD=BD,AB=AC,$ $∴2AD+AD=6,$ $∴AD=2,$ $∴AB=AC=4,BC=13.\ $ $∵AB+AC＜BC,$ $∴不能构成三角形\ $ $故这种情况不成立.\ $ $②情况二:AC+AD=15,BC+BD=6.\ $ $同理①，可得AB=AC=10,BC=1.\ $ $∵AB+AC＞BC,AB-AC＜BC,$ $\ ∴能构成三角形，$ $此时腰长为10，底边长为1.\ $ $故三角形的腰长和底边长分别为10和1.$
$解:(2)当BD是特异线时,$ $ 如图(1)，若AB=BD=DC，$ $则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°+15°=135°.$ $如图(2)，若AD=AB,DB=DC,$ $则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°.$ $ 如图(3)，若AD=DB,DC=CB，$ $则∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°(不合题意，舍去);$ $当AD是特异线时，如图(4)，$ $若AB=BD,AD=DC,$ $则∠ABC=180°-20°-20°=140°;$ $ 当CD为特异线时，不合题意$ $ 综上所述，符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°.$
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