$证明:(1)在△ADB和△ADC中,\ $ $\begin{cases}{∠ADB=∠ADC}\\{∠B=∠C，}\\{\ AD=AD,\ }\end{cases}$ $∴△ADB≌△ADC(\mathrm {AAS}),$ $∴AB=AC.$ $(2)∵△ADB≌△ADC,$ $∴AB=AC,BD=CD,$ $ ∴点A和点D都在线段BC的垂直平分线上，$ $ ∴AD是线段BC的垂直平分线，$ $∴AD⊥BC.$
$证明:(1)∵∠ABC=∠ADC=90°,$ $点O是AC的中点,\ $ $∴OB=\frac{1}{2}AC,OD=\frac{1}{2}AC.$ $∴OB=OD.$ $(2)∵∠ACD=30°,∠ADC=90°,\ $ $∴∠DAO=90°-∠ACD=60°.\ $ $∵∠ADC=90°，点O是AC的中点，\ $ $∴OD=\frac{1}{2}AC=OA,$ $∴△AOD是等边三角形.\ $ $由(1)，得OD=OB=6，\ $ $∴△AOD的周长=3OD=3×6=18.$
$解:(2)△DEF仍是等腰直角三角形.理由如下:$ $ 如图,连接AD.$ $∵AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点, $ $ ∴AD=BD,AD⊥BC,$ $ ∴∠DAC=∠ABD=45°,$ $ ∴∠DAF=∠DBE=135°.$ $ 又AF=BE.$ $∴△DAF≌△DBE(\mathrm {SAS}),$ $ ∴FD=ED,∠FDA=∠EDB,$ $ ∴∠EDF=∠EDB+∠FDB$ $=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°,$ $ ∴△DEF是等腰直角三角形$ （更多请点击查看作业精灵详解）
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