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$解:(1)如图(1)，$

$分别作点P关于AC的对称点G，\ $

$关于BC的对称点 H，$

$连接GH分别交AC、BC于点D、E,$

$连接PD、PE、CG、CH,$

$则△PDE的周长的最小值为GH的长.\ $

$∵点P、G关于AC对称，$

$∴∠GCA=∠PCA,CG=CP.$

$∵点P、H关于BC对称，$

$∴∠BCH=∠BCP,CH=CP,$

$∴CG=CP=CH=10.\ $

$∵∠ACB=30°，$

$∴∠HCG=2(∠PCA+∠PCB)=2∠ACB=60°，$

$∴△CGH是等边三角形，\ $

$∴GH=CG=10，$

$∴△PDE的周长的最小值为10.$

$(2)最短路程为\frac{46}{5}.$

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$解:(1)作点C关于AB的对称点C'，$

$连接C'D交AB于点P，$

$∵PC=PC'，$

$∴PC+PD=PC'+PD=C'D，$

$∴△PCD的周长=PC+PD+CD≥C'D+CD，$

$此时△PCD的周长最小.$

$解:(2)作P点关于AO的对称点P'，$

$作P点关于OB的对称点P''，$

$连接P'P''交AO于点E，交OB于点F，$

$∵PE=P'E，PF=P''F，$

$∴PE+PF+EF=P'E+P''F+EF=P'P''，$

$此时△PEF的周长最小．$

$解:(3)如图3，作M关于OA的对称点C，$

$作N关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，$

$则点E，F就是所要求作的点. $

$理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，$

$连接CE′、E′F′、DF′， $

$∵C和M关于直线OA对称， $

$∴ME=CE，CE′=ME′，NF=DF，NF′=DF′， $

$由(2)得知MN+ME+EF+NF＜MN+ME′+E′F′+F′D. $

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