$解:(2)∵CD⊥AB于点D$ $∴∠CDB=90°.$ $ ∴在Rt△BCD 中，$ $由勾股定理，得$ $BD²=BC²-CD²=15²-12²=81,$ $∴BD=9,$ $∴BD的长为9.$ （更多请点击查看作业精灵详解） $解:(2)∵△ABE≌△ACD,$ $∴AD=AE=6.$ $ 在Rt△ACD中，$ $AC=\sqrt{AD²+CD²}=\sqrt{6²+8²}=10.$ $ 又AB=AC=10，$ $∴BD=AB-AD=10-6=4.$ （更多请点击查看作业精灵详解）
$解:如图(1),当高在三角形内部时，$ $ 在Rt△ABD中，由勾股定理，$ $得BD²=AB²-AD²=10²-8²=36，$ $所以BD=6.$ $ 在Rt△ACD中，由勾股定理，$ $得CD²=AC²-AD²=17²-8²=225，$ $所以CD=15.$ $ 所以BC=BD+CD=6+15=21.$ $如图(2)，当高在三角形外部时，\ $ $在Rt△ABD中，由勾股定理，$ $得BD²=AB²-AD²=10²-8²=36，$ $所以BD=6.\ $ $在Rt△ACD中，由勾股定理，$ $得CD²=AC²-AD²=17²-8²=225，$ $所以CD=15.\ $ $所以BC=CD-BD=15-6=9.$ $\ 故BC的长为21或9.$
$证明:(1)∵AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,$ $C F⊥AD于 点F,$ $∴∠CEB=∠CFD=90°,CE=CF.\ $ $∵BC=DC,$ $∴Rt△BCE≌Rt△DCF(\mathrm {HL}).$
$解:(2)由(1)，得Rt△BCE≌Rt△DCF,$ $ ∴DF=BE.设DF=BE=x.$ $ ∵∠CFA=∠CEA=90°,$ $CF=CE,$ $AC=AC,$ $ ∴Rt△AFC≌Rt△AEC(\mathrm {HL}),$ $ ∴AF=AE，$ $即AD+DF=AB-BE.$ $ ∵AB=21,AD=9,DF=BE=x,$ $ ∴9+x=21-x，$ $解得x=6.$ $ 在Rt△DCF中，$ $∵DF=6,CD=10，$ $∴CF=8.$ $ 在Rt△AFC中，$ $AC²=CF²+AF²=8²+(9+6)²=289,$ $∴AC=17.$ $故AC的长为17.$
$证明:(1)如图(1)，连接AP.$ $∵AB=AC,P是BC的中 点,$ $∴AP⊥BC,PB=PC.\ $ $在Rt△ABP中，AB²=BP²+AP²,\ $ $∴AB²-AP²=BP².\ $ $又PB=PC，$ $∴PB×PC=BP²,$ $\ ∴AB²-AP²=PB▪PC.$
$解:(2)结论成立.证明如下:\ $ $如图(2)，连接AP，过点A作AD⊥BC，$ $交BC于点D.$ $∵AB=AC,AD⊥BC,$ $∴BD=CD.$ $\ 在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²,\ $ $同理AP²=AD+DP²,$ $∴AB²-AP²=AD²+BD²-(AD²+DP²)$ $=BD²-DP²,$ $又PB=BD+DP,$ $PC=CD-DP=BD-DP,$ $∴PB×PC=(BD+DP)(BD-DP)$ $=BD²-DP²$ $∴AB²-AP²=PB×PC.$
$解:(3)AP²-AB²=PB×PC.理由如下:\ $ $如图(3)，连接AP，$ $过点A作AD⊥BC,交BC于点D.$ $∵AB=AC,AD⊥BC,$ $∴BD=CD.\ $ $在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²,\ $ $在Rt△ADP中，AP²=AD²+DP²,\ $ $∴AP²-AB²=(AD²+DP²)-(AD²+BD²)$ $=DP²-BD².\ $ $又PB=DP+BD,$ $PC=DP-CD=DP-BD,\ $ $∴PB×PC=(DP+BD)(DP-BD)$ $=DP²-BD²,$ $∴AP²-AB²=PB▪PC,$
$证明:(1)∵CD⊥AB,BE⊥AC,\ $ $∴∠AEB=∠ADC=90°.\ $ $在△ABE和△ACD中，\ $ $∠AEB=∠ADC,\ $ $∠BAE=∠CAD,\ $ $AB=AC，\ $ $∴△ABE≌△ACD(\mathrm {AAS}), $
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