$解:(1)∵一次函数y=mx-(m-2)的图像过点(0,3),\ $
$∴3=-(m-2),$
$解得m=-1.$
$(2)∵一次函数y=mx-(m-2)的图像经过第一、四象限$
$∴ \begin{cases}{m<0}\\{-(m-2)>0}\end{cases}$
$解得m<0,\ $
$即m的取值范围是m<0.$
$(3)∵一次函数y=mx-(m-2)的图像不经过第四象限,$
$∴ \begin{cases}{m>0}\\{-(m-2)≥0}\end{cases}$
$解得0<m≤2,\ $
$\ 即m的取值范围是0<m≤2.$