$解：因为∠AOB :∠BOC=3:2，所以设∠AOB= 3x°,则∠BOC=2x°,$
$所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=5x°$
$因为OE是∠AOC的平分线，所以∠AOE=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{5}{2} x°，$
$所以∠BOE=∠AOB-∠AOE=\frac{1}{2}x°.因为∠BOE=12°，$
$所以\frac{1}{2}x=12，解得x=24，所以∠BOC=48°$
$因为OD是∠BOC的平分线，所以∠BOD=\frac{1}{2}∠BOC=24°，$
$所以∠DOE=∠BOD+∠BOE=36°$
