$解：(1)由题意，得2⊙(-3)=|2+(-3)|+ |2-(-3)|= 6$
$(2)由数轴可知，b\lt 0\lt a，|b|\gt |a |，$
$所以a+b\lt 0，a-b\gt 0，$
$所以a⊙b= |a+b|+|a-b|=-a-b+a-b=- 2b$
$(3)分类讨论如下：$
$①当m≥0时，(m⊙m)⊙m= 2m⊙m=4m=8+m，所以m=\frac{8}{3}；$
$②当m\lt 0时，(m⊙m)⊙m=(-2m)⊙m =-4m=8+m，所以m=-\frac{8}{5}$
$综上所述，m的值为\frac{8}{3}或-\frac{8}{5}$
