解：$(1)1⊕(-1)=2×1+3×(-1)-7=-8$
$(2)$该运算具有交换律，理由如下：
分三种情况：
当$x＞y$时，$x⊕y=2x+3y-7$，
$y⊕x=3y+2x-7$，此时$x⊕y=y⊕x$；
当$x=y$时，$x⊕y=2x+3y-7=5x-7$，
$y⊕x=2y+3x-7=5x-7$，此时$x⊕y=y⊕x$；
当$x＜y$时，$x⊕y=3x+2y-7$，
$y⊕x=2y+3x-7$，此时$x⊕y=y⊕x.$
∴该运算“⊕”具有交换律
$(3)$当$x≤2$时，$2⊕x=0$，即$2×2+3x-7=0$
解得$x=1$；
$ $当$x＞2$时，$2⊕x=0$，即$3×2+2x-7=0$
解得$x=\frac {1}{2}($舍去$)$
∴$x$的值为$1$
