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解：$(1)$∵$BC=\frac {1}{2}AB$，$AC=12\ \mathrm {cm}$

∴$BC=\frac {1}{3}AC=4\ \mathrm {cm}$

∴$AB=AC-BC=12-4=8(\mathrm {cm})$

$(2)$∵点$D$是$AB$的中点，$AB=8\ \mathrm {cm}$

∴$AD=\frac {1}{2}AB=4\ \mathrm {cm}$

∵点$E$是$AC$的中点，$AC=12\ \mathrm {cm}$

∴$AE=\frac {1}{2}AC=6\ \mathrm {cm}$

∴$DE=AE-AD=6-4=2(\mathrm {cm})$

解：$(1)AB=CM$，理由如下：

设$AB=2x$，$BC=5x$，$CD=3x$

则$AD=2x+5x+3x=10x$

∵$M$为$AD$的中点

∴$MD=\frac {1}{2}AD=5x$

∴$CM=MD-CD=5x-3x=2x$

∴$AB=CM$

$(2)$∵$CM=10$

∴$2x=10$，解得$x=5$

∴$AD=10x=10×5=50$

7.5

$\frac {a+b}{2} $

解：$(3)$如图所示

线段$AB$的长度表示参加延时服务的女生人数；

线段$BC$的长度表示未参加延时服务的女生人数；

线段$CD$的长度表示参加延时服务的男生人数；

线段$DE$的长度表示未参加延时服务的男生人数

设$BC=x$，$CE=y$

则$AB=2x$，$CD=\frac {2}{3}y$

∴$AB+CD=2x+\frac {2}{3}y=m$

∴$AE=3x+y=\frac {3}{2}m($人$)$

∴该班共有学生$\frac {3}{2}m $人

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